Nesta questão, no MSE, juantheron pergunta se o integral
se pode calcular directamente, pelo método de substituição, em vez de admitir que a primitiva é da forma
calcular e determinar as constantes
e
, chegando a
e
Tradução da minha resposta.
Posso estar enganado, mas parece-me que o integral dado não se pode calcular por substituição. De qualquer maneira, para integrar uma função racional sem a decompor em fracções parciais e sem achar as raízes do denominador, pode-se usar o método de strogradski-Hermite, que generaliza a sua conjectura educada [de que o integral se pode escrever na forma]
Pode encontrar-se uma descrição deste método na secção 2.1 de Table of Integrals, Series, and Products, de Gradshteyn e Ryzhik, em que é apresentada a identidade abaixo. A fórmula
aparece também na página da Wikipedia sobre Ostrogradsky.
Suponha-se que . Existem polinómios
,
,
e
, com
e
,
,
, tais que
Então
ou
com , porque de
obtém-se
Para determinar os coeficientes dos polinómios e
igualamos os coeficientes de iguais potências de
.
Aplicação a
Uma vez que
e
escrevemos
em que
A identidade , com
resulta em
Igualando os coeficientes obtemos
Assim,
e finalmente,
como determinado por si.
De fato, a primitiva para a função racional do problema pode ser encontrada através de uma substituição:
Estava mesmo enganado! Não sei como descobriu esta substituição, mas na verdade conduz ao mesmo resultado. Se for utilizador do Mathematics Stack Exchange pode colocar lá a sua solução …
P.S.: reparei agora que existe uma resposta recente com este mesmo cálculo.
Possuo uma conta no Mathematics Stack Exchange, apesar de não a utilizar com frequência. Fui eu quem postou a resposta lá. :)
Ah, e sobre a substituição: fui motivado por uma integral de uma seção de problemas do livro de Cálculo do Apostol.
Também é possível encontrar a primitiva utilizando integração por partes:
Encontrando
,
Logo,
Muito obrigado por ter esclarecido a motivação da sua resolução e ter acrescentado a integração por partes. Grande contribuição a sua para este meu post!
Por gentileza, alguém poderia me ajudar na solução desta integral indefinida:
Qual a solução: Integral: sec(x)/((2)^1/2.sec(x)-2)