Demonstração da identidade trigonométrica √2 sin 10° + √3 cos 35° = sin 55° + 2 cos 65°

Questão de Freddy, no MSE:

Prove que:

\sqrt{2}\sin 10{{}^\circ}+\sqrt{3}\cos 35{{}^\circ}=\sin 55{{}^\circ}+2\cos 65{{}^\circ}

Minha Resolução (tradução):

(…)

\sqrt{2}\sin 10{{}^\circ}+\sqrt{3}\cos 35{{}^\circ}=\sin 55{{}^\circ}+2\cos 65{{}^\circ}\qquad(1)

Eis uma variante [de resolução] que utiliza a fórmula da adição do cosseno para 65{{}^\circ}=35{{}^\circ}+30{{}^\circ}, a fórmula da subtracção do seno para 10{{}^\circ}=45{{}^\circ}-35{{}^\circ} e a fórmula das funções seno/cosseno  de ângulos complentares.

1.  Use a fórmula dos ângulos complementares \sin \theta =\cos \left( 90{{}^\circ}-\theta \right) com \theta=55{{}^\circ}, a fórmula da adição \cos \left( a+b\right) =\cos a\cos  b-\sin a\sin b, e os valores especiais \sin 30{{}^\circ}  =1/2, \cos 30{{}^\circ}=\sqrt{3}/2 para reescrever o lado direito de (1) na forma

\sin 55{{}^\circ}+2\cos 65{{}^\circ}=\cos 35{{}^\circ}+\sqrt{3}\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}\qquad(2)

2. Substitua (2) em (1) e simplifique; obtém a identidade equivalente

\sqrt{2}\sin 10{{}^\circ}=\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}\qquad(3)

3. Para mostrar que (3) é válida, use a fórmula da subtracção \sin \left(a-b\right) =\sin a\cos b-\cos a\sin b e os valores especiais \sin 45{{}^\circ}=\cos 45{{}^\circ}=\sqrt{2}/2. Dado que se obtém a identidade trivial seguinte, concluimos a demonstração.

\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}=\cos 35{{}^\circ}-\sin 35{{}^\circ}\qquad(4)

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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