Equação integral redutível a uma trigonométrica simples

Publicado em 1 de Dezembro de 2014 por Américo Tavares

Na questão Solving messy integral with modulus and trigonometry de eaxdpiotnyeantial , no MSE, é apresentada a seguinte equação integral na variável a

a\in \mathbb R,\displaystyle\int_{a-\pi}^{3\pi+a}|x-a-\pi|\sin(x/2)dx=-16

cuja resolução passo a traduzir.

Minha resolução: O cálculo do integral no 1.º membro da equação integral

\displaystyle\int_{a-\pi }^{3\pi +a}\left\vert x-a-\pi \right\vert \sin \left( x/2\right)\,dx=-16\qquad (1)

pode efectuar-se, começando pela substituição sugerida por GFauxPas y=x-a-\pi num comentário, separando o integral em dois, um para -2\pi <y<0 e outro para 0\leq y<2\pi, e prosseguindo com a substituição z=\dfrac{y+a}{2} e integração por partes:

\begin{aligned}-16&=\displaystyle\int_{a-\pi }^{3\pi +a}\left\vert x-a-\pi \right\vert\sin \left(x/2\right)\,dx\\&=\displaystyle\int_{-2\pi }^{2\pi }\left\vert y\right\vert\sin \left( \dfrac{y+a}{2}+\dfrac{\pi }{2}\right) \,dy,\qquad\qquad y=x-a-\pi\\&=\displaystyle\int_{-2\pi }^{2\pi }\left\vert y\right\vert\cos\left( \dfrac{y+a}{2}\right) \,dy\\&=-\displaystyle\int_{-2\pi }^{0}y\cos\left(\dfrac{y+a}{2}\right) \,dy+\displaystyle\int_{0}^{2\pi }y\cos \left(\dfrac{y+a}{2}\right)\,dy,\\&=-\left[ 2y\sin \dfrac{y+a}{2}+4\cos \dfrac{y+a}{2}\right] _{-2\pi }^{0} +\left[ 2y\sin\dfrac{y+a}{2}+4\cos \dfrac{y+a}{2}\right] _{0}^{2\pi }\qquad (\ast)\\&=-8\cos\dfrac{a}{2}+4\pi \sin\dfrac{a}{2}-8\cos\dfrac{a}{2}-4\pi \sin\dfrac{a}{2} \\&=-16\cos\dfrac{a}{2},\end{aligned}

porque

\begin{aligned}I(y)&=\displaystyle\int y\cos \left(\dfrac{y+a}{2}\right) \,dy\\&=\displaystyle\int 2\left(2z-a\right) \cos z\,dz,\qquad\qquad z=\dfrac{y+a}{2}\\&=4\displaystyle\int z\cos z\,dz-2a\displaystyle\int\cos z\,dz \end{aligned}

e

\begin{aligned}I(y)&=4\left( z\sin z-\int\sin z\,dz\right) -2a\sin z\\ &=\left(4z-2a\right)\sin z+4\cos z\\&=2y\sin\frac{y+a}{2}+4\cos\dfrac{y+a}{2}.\qquad (\ast)\end{aligned}

Assim, (1) é equivalente à equação trigonométrica simples

\cos\dfrac{a}{2}=1,\qquad (2)

cuja solução é

a=4k\pi ,\text{ }k\in\mathbb{Z}.\qquad (3)

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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