Resolução da equação do 3.º grau ou cúbica (2)

Além do método indicado no post Resolução da equação do 3.º grau em (ou cúbica) para resolver a equação cúbica reduzida em t

t^{3}+pt+q=0

que consiste em exprimir a variável t na forma t=u+v, tomei recentemente conhecimento, nesta resposta de user 170039, à questão Derivation of Cubic Formula de MathNoob, no Mathematics Stack Exchange, da substituição t=y+\dfrac{k}{y}, em que a constante k=-\dfrac{p}{3}.

Através dela obtém-se a equação em y

y^{3}-\dfrac{p^{3}}{27}\dfrac{1}{y^{3}}+q=0

ou seja, para y\neq 0, a equação do 6.º grau seguinte — do 2.º grau em y^{3}

\left( y^{3}\right) ^{2}+qy^{3}-\dfrac{p^{3}}{27}=0.

O leitor poderá verificar que os dois métodos conduzem à mesma fórmula resolvente; por exemplo, escolhendo a solução y^{3}=-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}, tem-se

\begin{aligned}t&=y-\dfrac{p}{3y}=\left( -\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}\right)^{1/3}-\dfrac{p}{3\left( -\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}\right) ^{1/3}} \\&=\cdots\\  &=\left( -\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}\right)^{1/3}+\left( -\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^{2}}{4}+\dfrac{p^{3}}{27}}\right)^{1/3}.\end{aligned}

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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7 respostas a Resolução da equação do 3.º grau ou cúbica (2)

  1. joao paulo diz:

    Ei amigo como aplicar a formula cardano-tartaglia? apliquei ela para 3 equaçoes do 3 grau e consegui resolver apenas 2 delas.as equaçoes x³-3x-2 q foi facil aplicar a formula e para equaçao x³-15x-4 q eu precisei de ajuda acessando o caderninho do aluno mas tambem consegui resolver.

    Mas fui aplicar para q equaçao x³-x-6 que teria q dividir (-1) por 27 n deu certo fiz de todo jeito multipliquei em cruz,dividi, tentei extrair a raiz quadrada e nada deu certo .no entanto sei q 2 é raiz pois 2³-2-6=8-8=0 .mas nao da para axar esse resultado na formula.

    Outro caso quando a substituiçao de x=y-b/3 elimina o termo em x² e o tempo independente ficando y³-y (obs isso ocorre em quase todas as equaçoes completas e eu resolvi) como aplico a formula ?acrecento no termo faltando ? ficaria y³-y+0?

  2. joao paulo diz:

    gostei do metodo mas to no 9º ano e nao tenho nem o basico de trigonometria nao entendi muito bem naquela parte

  3. joao paulo diz:

    ei nao consigo aplicar a formula.Perguntei a minha professora de matematica e ela tbm quebrou a a cabeça tentando aplicar junto comigo e tbm falhou no processo .Mas ela é formada e nao conseguiu vc sim .Voce é formado em matematica avançada ? ou algo do tipo?(obs:minha professora é formada em matematica e ja da aula a bastante tempo é meia doida)

  4. joao paulo diz:

    no caso o que eu faço quando m ou p é igual a 1 ou nao divisivel por 27 ? se por um acaso eu elevasse todo o delta ao quadrado é considerado correto

    delta=raiz quadrada de q²/4+q³/27 elevendo ao quadrado a raiz se cancelaria e eu ficaria com
    y=raiz cubica de -q/2+q²/4+q³/27 + raiz cubica de -q/2-q²/4+q³/27 estaria certo?

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