Problema de um leitor — maximização do volume de um cone cuja planificação é um sector circular dado

Destaco desta forma o seguinte enunciado, na grafia brasileira, de um problema que um leitor deixou num comentário:

« Um grupo de escoteiros possui uma peça de lona circular de 3 m de raio. Cortando-se um setor circular pode-se construir uma tenda de forma cônica. Quais as dimensões da tenda para que seu volume seja máximo ? »

Proposta de resolução:

Seja \alpha o ângulo do sector circular medido em radianos. O comprimento L do arco do sector circular, de raio 3\,\mathrm{m} , é igual a L=3\alpha\,\mathrm{m}. O cone construido com este sector circular tem uma base circular cujo raio r é igual r=\dfrac{L}{2\pi }=\dfrac{3\alpha }{2\pi } e cuja altura h é igual a h=\sqrt{3^{2}-r^{2}}.

Sendo assim, o volume do cone é dado por

V\left( \alpha \right) =\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h=\dfrac{1}{3}\pi \left( \dfrac{3\alpha }{2\pi }\right) ^{2}\sqrt{9-\left( \dfrac{3\alpha }{2\pi }\right) ^{2}}=\dfrac{9}{8}\dfrac{\alpha ^{2}}{\pi ^{2}}\sqrt{4\pi ^{2}-\alpha ^{2}}.

Como a derivada

V'\left(\alpha\right)=\dfrac{9}{8\pi ^{2}}\alpha\dfrac{8\pi  ^{2}-3\alpha^{2}}{\sqrt{4\pi ^{2}-\alpha^{2}}}

tem os seguintes zeros: \alpha =0,\alpha =\pm \dfrac{2}{3}\sqrt{6}\pi, excluindo a solução negativa, e estudando o sinal de V'\left( \alpha \right), conclui-se que o máximo V_{\text{max}} ocorre para \alpha =\dfrac{2}{3}\sqrt{6}\pi , a que corresponde r=\dfrac{3\alpha }{2\pi }=\sqrt{6}\, \mathrm{m} e h=\sqrt{3^{2}-r^{2}}=\sqrt{3}\, \mathrm{m}. O seu valor é V_{\text{max}}=2\sqrt{3}\pi\, \mathrm{m}^3.

Actualização: 20-11-2014

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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