Corrida em sentidos opostos ao longo de uma circunferência

Publicado em 19 de Junho de 2014 por Américo Tavares

Na questão Travelling round a circle, panav2000k, colocou, no MSE, um  problema, com o seguinte enunciado (tradução):

A e B partem do mesmo ponto e percorrem, em sentidos opostos, uma circunferência de 4324\text{ }\mathrm{m}. A só arranca quando B já percorreu 716\text{ }\mathrm{m}. Cruzam-se quando A já correu 1927\text{ }\mathrm{m}. Quem chegará primeiro à partida e a que distância estarão um do outro, nessa altura?

Tradução da minha resolução:

Seja t_{1} o tempo de que B necessita para percorrer 716 \textrm{m } a uma velocidade constante v_{B}. Então 716=v_{B}t_{1}. Se t_{2} for o instante em que A e B passam um pelo outro, então

\begin{cases}4324-1927=v_{B}t_{2} \\[2ex] 1927=v_{A}\left( t_{2}-\dfrac{716}{v_{B}}\right) \\[2ex] 716=v_{B}t_{1}, \end{cases}

em que v_{A} é a velocidade constante de A. Simplificando obtemos

\begin{cases}t_{2}=\dfrac{2397}{v_{B}} \\[2ex] \dfrac{v_{A}}{v_{B}}=\dfrac{1927}{1681}=\dfrac{47}{41} \\[2ex] 716=v_{B}t_{1}.\end{cases}

Se t_{A} e t_{B} forem os tempos adicionais de que, respectivamente, A e B necessitam para chegar ao ponto de partida, então

\begin{cases}1927=v_{B}t_{B} \\[2ex] 2397=v_{A}t_{A}=\dfrac{47}{41}v_{B}t_{A}, \end{cases}

o que implica que \dfrac{t_{A}}{t_{B}}=\dfrac{51}{47}>1. Assim, B chegará em primeiro lugar à partida. Quando B atinge esse ponto, A ainda necessita de percorrer

\begin{aligned}2397-v_{A}t_{B} &=2397-v_{A}\frac{1927}{v_{B}}=2397-\frac{47}{41}1927 \\&=2397-2209=188\text{ }\mathrm{m}.\end{aligned}

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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