Apresento de seguida duas questões envolvendo radicais imbricados, recentemente publicadas no MSE, bem como as minhas respostas.
![\sqrt[4]{161-72 \sqrt{5}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%5B4%5D%7B161-72+%5Csqrt%7B5%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\sqrt[4]{161-72 \sqrt{5}}")
Questão 1.
‘Para
, definimos
Determinar o valor máximo de
.’
Deparei-me com esta questão em uma competição das Olimpíadas de Matemática (…)
![g(a)=\sqrt[\Large3]{a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}+\sqrt[\Large3]{a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=g%28a%29%3D%5Csqrt%5B%5CLarge3%5D%7Ba%2B%5Cdfrac%7Ba%2B1%7D%7B3%7D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B8a-1%7D%7B3%7D%7D%7D%2B%5Csqrt%5B%5CLarge3%5D%7Ba-%5Cdfrac%7Ba%2B1%7D%7B3%7D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B8a-1%7D%7B3%7D%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "g(a)=\sqrt[\Large3]{a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}+\sqrt[\Large3]{a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}")
Resolução
Em geral não podemos converter uma raíz cúbica imbricada numa forma simples. Porém, ambos os radicais em 
Se escrevermos 
em que usámos o teorema binomial no caso da potência ser cúbica
com 
De forma semelhante, aplicando o teorema binomial a 
Agora determinamos facilmente que para 
![g(a)=\sqrt[3]{X^{3}}+\sqrt[3]{Y^{3}}=X+Y=\dfrac{ 1+\sqrt{x} }{2} +\dfrac{ 1-\sqrt{x} }{2} =1.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=g%28a%29%3D%5Csqrt%5B3%5D%7BX%5E%7B3%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7BY%5E%7B3%7D%7D%3DX%2BY%3D%5Cdfrac%7B+1%2B%5Csqrt%7Bx%7D+%7D%7B2%7D++%2B%5Cdfrac%7B+1-%5Csqrt%7Bx%7D+%7D%7B2%7D+%3D1.&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "g(a)=\sqrt[3]{X^{3}}+\sqrt[3]{Y^{3}}=X+Y=\dfrac{ 1+\sqrt{x} }{2} +\dfrac{ 1-\sqrt{x} }{2} =1.")
Assim,
Questão 2. Simplificar
Resolução
Podemos aplicar duas vezes a seguinte identidade algébrica geral envolvendo radicais imbricados
para obter
![\sqrt[4]{161-72\sqrt{5}}=\sqrt[4]{161-\sqrt{25\,920}}=\sqrt{5}-2.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Csqrt%5B4%5D%7B161-72%5Csqrt%7B5%7D%7D%3D%5Csqrt%5B4%5D%7B161-%5Csqrt%7B25%5C%2C920%7D%7D%3D%5Csqrt%7B5%7D-2.&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\sqrt[4]{161-72\sqrt{5}}=\sqrt[4]{161-\sqrt{25\,920}}=\sqrt{5}-2.")
O cálculo numérico pode efectuar-se como segue:
![\begin{aligned}\sqrt[4]{161-72\sqrt{5}}&=\left(\sqrt{\dfrac{161+\sqrt{161^{2}-25\,920}}{2}}-\sqrt{\dfrac{161-\sqrt{161^{2}-25\,920}}{2}}\right) ^{1/2}\\&=\left( \sqrt{\dfrac{161+1}{2}}-\sqrt{\dfrac{161-1}{2}}\right) ^{1/2}\\&=\sqrt{9-\sqrt{80}}\\&=\sqrt{\dfrac{9+\sqrt{9^{2}-80}}{2}}-\sqrt{\dfrac{9-\sqrt{9^{2}-80}}{2}}\\&=\sqrt{\dfrac{9+1}{2}}-\sqrt{\dfrac{9-1}{2}}\\&=\sqrt{5}-2.\end{aligned}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Baligned%7D%5Csqrt%5B4%5D%7B161-72%5Csqrt%7B5%7D%7D%26%3D%5Cleft%28%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B161%2B%5Csqrt%7B161%5E%7B2%7D-25%5C%2C920%7D%7D%7B2%7D%7D-%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B161-%5Csqrt%7B161%5E%7B2%7D-25%5C%2C920%7D%7D%7B2%7D%7D%5Cright%29+%5E%7B1%2F2%7D%5C%5C%26%3D%5Cleft%28+%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B161%2B1%7D%7B2%7D%7D-%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B161-1%7D%7B2%7D%7D%5Cright%29+%5E%7B1%2F2%7D%5C%5C%26%3D%5Csqrt%7B9-%5Csqrt%7B80%7D%7D%5C%5C%26%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B9%2B%5Csqrt%7B9%5E%7B2%7D-80%7D%7D%7B2%7D%7D-%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B9-%5Csqrt%7B9%5E%7B2%7D-80%7D%7D%7B2%7D%7D%5C%5C%26%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B9%2B1%7D%7B2%7D%7D-%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B9-1%7D%7B2%7D%7D%5C%5C%26%3D%5Csqrt%7B5%7D-2.%5Cend%7Baligned%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\begin{aligned}\sqrt[4]{161-72\sqrt{5}}&=\left(\sqrt{\dfrac{161+\sqrt{161^{2}-25\,920}}{2}}-\sqrt{\dfrac{161-\sqrt{161^{2}-25\,920}}{2}}\right) ^{1/2}\\&=\left( \sqrt{\dfrac{161+1}{2}}-\sqrt{\dfrac{161-1}{2}}\right) ^{1/2}\\&=\sqrt{9-\sqrt{80}}\\&=\sqrt{\dfrac{9+\sqrt{9^{2}-80}}{2}}-\sqrt{\dfrac{9-\sqrt{9^{2}-80}}{2}}\\&=\sqrt{\dfrac{9+1}{2}}-\sqrt{\dfrac{9-1}{2}}\\&=\sqrt{5}-2.\end{aligned}")
Nota: Se o radical fosse da forma 
Demonstração (De Sebastião e Silva, Silva Paulo, Compêndio de Álgebra II, 1963). Para determinar dois números racionais 
elevamos ao quadrado os dois lados da identidade e rearranjamos os termos
Elevando novamente ao quadrado, obtém-se
Dado que 
Em consequência, são as raízes de
isto é
