Apresento de seguida duas questões envolvendo radicais imbricados, recentemente publicadas no MSE, bem como as minhas respostas.
Questão 1.
‘Para
, definimos
Determinar o valor máximo de
.’
Deparei-me com esta questão em uma competição das Olimpíadas de Matemática (…)
Resolução
Em geral não podemos converter uma raíz cúbica imbricada numa forma simples. Porém, ambos os radicais em têm uma forma especial que pode ser simplificada, porque podemos determinar duas potências cúbicas
tais que
são irracionais quadráticos conjugados e
Se escrevermos , então
e
. Em consequência, o primeiro radicando converte-se em
em que usámos o teorema binomial no caso da potência ser cúbica
com :
De forma semelhante, aplicando o teorema binomial a , o segundo radical transforma-se em
Agora determinamos facilmente que para a função
é constante
Assim,
Questão 2. Simplificar
Resolução
Podemos aplicar duas vezes a seguinte identidade algébrica geral envolvendo radicais imbricados
para obter
O cálculo numérico pode efectuar-se como segue:
Nota: Se o radical fosse da forma , a identidade aplicável seria
Demonstração (De Sebastião e Silva, Silva Paulo, Compêndio de Álgebra II, 1963). Para determinar dois números racionais tais que
elevamos ao quadrado os dois lados da identidade e rearranjamos os termos
Elevando novamente ao quadrado, obtém-se
Dado que ,
, o que significa que
verificam o sistema de equações
Em consequência, são as raízes de
isto é