Radicais imbricados

Apresento de seguida duas questões envolvendo radicais imbricados, recentemente publicadas no MSE, bem como as minhas respostas.

  1. Math Algebra Question with Square Roots , de snivysteel
  2. Simplifying \sqrt[4]{161-72 \sqrt{5}}, de user2612743

Questão 1.

‘Para  a\ge \dfrac{1}{8}, definimos

g(a)=\sqrt[\Large3]{a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}+\sqrt[\Large3]{a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}

Determinar o valor máximo de g(a).’

Deparei-me com esta questão em uma competição das Olimpíadas de Matemática (…)

Resolução

Em geral não podemos converter uma raíz cúbica imbricada numa forma simples. Porém, ambos os radicais em g(a) têm uma forma especial que pode ser simplificada, porque podemos determinar duas potências cúbicas X^3,Y^3 tais que X, Y são irracionais quadráticos conjugados e

a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}=X^{3},\qquad a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}=Y^{3}

Se escrevermos x=\dfrac{8a-1}{3}\geq 0, então a=\dfrac{3x+1}{8} e \dfrac{a+1}{3}=\dfrac{x+3}{8}. Em consequência, o primeiro radicando converte-se em

\begin{aligned}a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}&=\dfrac{3x+1+\left( x+3\right)\sqrt{x}}{8}=\dfrac{1+3\sqrt{x}+3x+\left( \sqrt{x}\right)^{3}}{8}\\&=\dfrac{\left(1+\sqrt{x}\right)^{3}}{2^{3}}=X^{3},\qquad X=\dfrac{1+\sqrt{x}}{2}=\dfrac {1}{2}+\dfrac {1}{2}\sqrt {\dfrac {8a-1}{3}},\end{aligned}

em que usámos o teorema binomial no caso da potência ser cúbica

\left( 1+c\right) ^{3}=1+3c+3c^{2}+c^{3},

com c=\sqrt{x}:

\begin{aligned}\left(1+\sqrt{x}\right)^{3}&=\left(1+x^{1/2}\right)  ^{3}=1+3x^{1/2}+3x+x^{3/2}\\&=1+3\sqrt{x}+3x+\left(\sqrt{x}\right)^{3}.  \end{aligned}

De forma semelhante, aplicando o teorema binomial a (1-c)^3=(1-\sqrt{x})^3, o segundo radical transforma-se em

\begin{aligned}a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}&=\dfrac{3x+1-\left( x+3\right) \sqrt{x}}{8}=\dfrac{ 1-3\sqrt{x}+3x-\left( \sqrt{x}\right)^{3}}{2^{3}}\\&=\dfrac{\left( 1-\sqrt{x}\right) ^{3}}{2^{3}}=Y^{3},\qquad Y=\dfrac{ 1-\sqrt{x} }{2}=\dfrac {1}{2}-\dfrac {1}{2}\sqrt {\dfrac {8a-1}{3}}.  \end{aligned}

Agora determinamos facilmente que para a\geq 1/8 a função g(a) é constante

g(a)=\sqrt[3]{X^{3}}+\sqrt[3]{Y^{3}}=X+Y=\dfrac{ 1+\sqrt{x} }{2}  +\dfrac{ 1-\sqrt{x} }{2} =1.

Assim, \max_{a\geq 1/8}g(a)=1.

Questão 2. Simplificar

 \sqrt[4]{161-72 \sqrt{5}}

Resolução

Podemos aplicar duas vezes a seguinte identidade algébrica geral envolvendo radicais imbricados

\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}-\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}\qquad(1)

para obter

\sqrt[4]{161-72\sqrt{5}}=\sqrt[4]{161-\sqrt{25\,920}}=\sqrt{5}-2.

O cálculo numérico pode efectuar-se como segue:

\begin{aligned}\sqrt[4]{161-72\sqrt{5}}&=\left(\sqrt{\dfrac{161+\sqrt{161^{2}-25\,920}}{2}}-\sqrt{\dfrac{161-\sqrt{161^{2}-25\,920}}{2}}\right) ^{1/2}\\&=\left( \sqrt{\dfrac{161+1}{2}}-\sqrt{\dfrac{161-1}{2}}\right) ^{1/2}\\&=\sqrt{9-\sqrt{80}}\\&=\sqrt{\dfrac{9+\sqrt{9^{2}-80}}{2}}-\sqrt{\dfrac{9-\sqrt{9^{2}-80}}{2}}\\&=\sqrt{\dfrac{9+1}{2}}-\sqrt{\dfrac{9-1}{2}}\\&=\sqrt{5}-2.\end{aligned}

Nota: Se o radical fosse da forma \sqrt{a+\sqrt{b}}, a identidade aplicável seria

\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}+\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}.\qquad(2)

Demonstração (De Sebastião e Silva, Silva Paulo, Compêndio de Álgebra II, 1963). Para determinar dois números racionais x,y tais que

\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{x}+\sqrt{y},\text{ com }a,b\in \mathbb{Q},

elevamos ao quadrado os dois lados da identidade e rearranjamos os termos

2\sqrt{xy}=a-x-y+\sqrt{b}.

Elevando novamente ao quadrado, obtém-se

4xy=\left( a-x-y\right) ^{2}+2\left( a-x-y\right) \sqrt{b}+b.

Dado que x,y\in \mathbb{Q}, a-x-y=0, o que significa que x,y verificam o sistema de equações

x+y=a,\qquad xy=\dfrac{b}{4}.

Em consequência, são as raízes de

X^{2}-aX+\dfrac{b}{4}=0,

isto é

\begin{aligned}x&=X_{1}=\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}\\  y&=X_{2}=\dfrac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}.\end{aligned}

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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