Determinação da equação do círculo que passa por três pontos dados

Com a resposta à questão Finding an equation of circle which passes through three points de help e mais um voto na resposta já antiga à questão Vector sum in spherical coordinates, atingi, hoje, os 25000 pontos, no Mathematics Stack Exchange.

2014-06-09 MSE retoc4Na questão Finding an equation of circle which passes through three points, help pretende determinar a equação do círculo que passa nos pontos (5,10), (-5,0),(9,-6), usando a fórmula (x-q)^2 + (y-p)^2 = r^2.

Minha resolução

\left( x-q\right) ^{2}+\left( y-p\right) ^{2}=r^{2}\qquad(0)

Uma forma bastante elementar é usar esta fórmula três vezes, uma para cada ponto. Dado que o círculo passa no ponto (5,10), este verifica (0), isto é

\left( 5-q\right) ^{2}+\left( 10-p\right) ^{2}=r^{2}\qquad(1)

De forma semelhante para o segundo ponto (-5,0):

\left( -5-q\right) ^{2}+\left( 0-p\right) ^{2}=r^{2},\qquad(2)

e para (9,-6):

\left( 9-q\right) ^{2}+\left( -6-p\right) ^{2}=r^{2}.\qquad(3)

Temos pois o seguinte sistema de três equações simultâneas nas três incógnitas p,q,r:

\begin{cases}\left( 5-q\right) ^{2}+\left( 10-p\right) ^{2}=r^{2}\\\left( -5-q\right) ^{2}+p^{2}=r^{2}\\\left( 9-q\right) ^{2}+\left( 6+p\right) ^{2}=r^{2}\end{cases}\qquad(4)

Para o resolver, podemos começar por subtrair a segunda equação da primeira

\begin{cases}\left( 5-q\right) ^{2}+\left( 10-p\right) ^{2}-\left( 5+q\right) ^{2}-p^{2}=0\\\left( 5+q\right) ^{2}+p^{2}=r^{2} \\\left( 9-q\right) ^{2}+\left( 6+p\right) ^{2}=r^{2}\end{cases}

Desenvolvendo agora o lado esquerdo da primeira equação obtemos uma equação linear

\begin{cases}100-20q-20p=0 \\\left( 5+q\right) ^{2}+p^{2}=r^{2} \\\left( 9-q\right) ^{2}+\left( 6+p\right) ^{2}=r^{2}\end{cases}

Resolvendo a primeira equação em ordem a q e substituindo nas outras equações, obtemos

\begin{cases}q=5-p \\\left( 10-p\right) ^{2}+p^{2}-\left( 4+p\right) ^{2}-\left( 6+p\right) ^{2}=0 \\\left( 4+p\right) ^{2}+\left( 6+p\right) ^{2}=r^{2}\end{cases}

Se simplificarmos a segunda equação, esta transforma-se numa equação linear em p apenas

\begin{cases}q=5-p\\48-40p=0\\\left( 4+p\right) ^{2}+\left( 6+p\right) ^{2}=r^{2}\end{cases}

Reduzimos o nosso sistema quadrático (4) a duas equações lineares mais a equação de r^2. Da segunda equação achamos p=6/5, que substituimos na primeira e na terceira para determinar q=19/5 and r^2=1972/25, isto é

\begin{cases}q=5-\dfrac{6}{5}=\dfrac{19}{5}\\[2ex]  p=\dfrac{6}{5}\\[2ex]r^{2}=\left( 4+\dfrac{6}{5}\right) ^{2}+\left( 6+\dfrac{6}{5}\right) ^{2}=\dfrac{1972}{25}.\end{cases}\qquad(5)

Assim, a equação do círculo é:

\left( x-\dfrac{19}{5}\right) ^{2}+\left( y-\dfrac{6}{5}\right) ^{2}=\dfrac{1972}{25}.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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4 respostas a Determinação da equação do círculo que passa por três pontos dados

  1. ADNR diz:

    De louvar, não só pela disponibilidade em ajudar os outros, mas também (e, na minha opinião, principalmente) pela forma eficaz, rigorosa e didática com que esclarece as dúvidas!

    Obrigado!

  2. Gael diz:

    Eu nao entendo o passo 5 para o 6 como dá 20 p e 20 q
    sou do 10 ano e preciso de fazer um trabalho e nao estou a entender…
    poderia ajudar?
    Obrigado

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