Cálculo de (1+tan 20º)(1+tan 25º)

Questão de  user139024, no MSE:

Como calcular \left( 1+\tan 20{{}^\circ}\right) \left( 1+\tan 25{{}^\circ}\right) ?

Minha resolução: É uma consequência da seguinte identidade trigonométrica

\begin{aligned}\left( 1+\tan a\right) \left( 1+\tan b\right) =2+\tan a+\tan b-\dfrac{\tan a+\tan b}{\tan \left( a+b\right) }.\qquad (1)  \end{aligned}

Por um lado, reescrevemos

\begin{aligned}\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}  \end{aligned}

na forma

\tan a\tan b \begin{aligned}=1-\dfrac{\tan a+\tan b}{\tan \left( a+b\right) }.\qquad (2)\end{aligned}

Por outro, fazendo x=\tan a e y=\tan b na identidade algébrica

\begin{aligned}xy=\left( 1+x\right) \left( 1+y\right) -1-x-y\end{aligned}

vem:

\tan a\tan b \begin{aligned}=\left( 1+\tan a\right) \left( 1+\tan b\right) -1-\tan a-\tan b.\qquad (3)\end{aligned}

Se igualarmos (3) e (2), obtemos

\begin{aligned}\left( 1+\tan a\right)\left( 1+\tan b\right) -1-\tan a-\tan b=1-\frac{\tan a+\tan b}{\tan \left( a+b\right) },\end{aligned}

o que prova (1). Para a=20^{{}^\circ},b=25^{{}^\circ} obtemos

\begin{aligned}\left( 1+\tan 20{{}^\circ}\right)\left( 1+\tan 25{{}^\circ}\right)&=2+\tan 20{{}^\circ}+\tan 25{{}^\circ}-\frac{\tan 20{{}^\circ}+\tan 25{{}^\circ}}{\tan \left( 45{{}^\circ}\right) }\\&=2+\tan 20{{}^\circ}+\tan 25{{}^\circ}-\dfrac{\tan 20{{}^\circ}+\tan 25{{}^\circ}}{1}\\&=2.\end{aligned}

(editado)

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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Uma resposta a Cálculo de (1+tan 20º)(1+tan 25º)

  1. Ítalo diz:

    Interessante, professor!
    Abraço.

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