A fracção contínua de 1 / (e – 2) de Euler

Respondendo a uma questão de Yonatan N, no Mathematics Stack Exchange sobre a fracção contínua

\dfrac{1}{e-2} = 1+\cfrac1{2 + \cfrac2{3 + \cfrac3{4 + \cfrac4{5 + \cfrac5{6 + \cfrac6{7 + \cfrac7{\cdots}}}}}}},

escrevi, traduzindo, que Euler demonstrou em “De Transformatione Serium in Fractiones Continuas” [Referência: The Euler Archive, Index number E593 (On the Transformation of Infinite Series to Continued Fractions)], Teorema VI, §40 a §42],  que

s=\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cdots }}}=\dfrac{1}{e-1}.

Eis uma explicação da forma como prosseguiu. Afirmou que se

\cfrac{a}{a+\cfrac{b}{b+\cfrac{c}{c+\cdots }}}=s,

então

a+\cfrac{a}{a+\cfrac{b}{b+\cfrac{c}{c+\cdots }}}=\dfrac{s}{1-s}.

Visto que neste caso a=1,b=2,c=3,\ldots decorre que

1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cdots }}}=\dfrac{1}{e-2}.

Euler demonstrou em primeiro lugar como transformar uma série alterna de um tipo particular numa fracção contínua e de seguida usou o desenvolvimento

e^{-1}=1-\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1\cdot 2}-\dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\ldots.

REFERÊNCIAS

The Euler Archive, Index number E593

– Tradução do artigo E593 de Leonhard Euler por Daniel W. File, The Ohio State University.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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