Soma de outra série via desenvolvimento de uma função em série de Fourier

Na questão Find the Exact sum, no MSE, o user133332 pretende calcular a série de Fourier da função f(x) no intervalo x\in \left] -\pi ,\pi \right[ e dela obter a soma da série

\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{k+1}}{2k-1}

Tradução da minha resolução:

Por definição da série trigonométrica de Fourier temos para f(x)=x, com x\in \left[ -\pi ,\pi \right]

\begin{aligned}x&=\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)\\a_{n} &=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }x\cos nx\,dx=0\\b_{n} &=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }x\sin nx\,dx.\end{aligned}

Os coeficientes a_{n}=0, visto que x\cos nx é uma função ímpar. Quanto a b_{n} é integrável por partes e neste caso a regra LIATE pode ajudar na escolha dos factores da função integranda.

\displaystyle\int u(x)v^{\prime }(x)\,dx=u(x)v(x)-\displaystyle\int u^{\prime }(x)v(x)\,dx

De acordo com ela, dado que x é uma função algébrica e \sin nx é uma função trigonométrica, escolhemos u(x)=x, v^{\prime }(x)=\sin nx.

b_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\underset{u(x)}{\underbrace{x}}\underset{v^{\prime }(x)}{\underbrace{\sin nx}}\,dx

Então,  u^{\prime }(x)=1 e v(x)=\int \sin nx\,dx=-\frac{1}{n}\cos nx. Assim

\begin{aligned}b_{n}&=\left. \dfrac{1}{\pi }x\left( -\dfrac{1}{n}\cos nx\right) \right\vert_{-\pi }^{\pi }-\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }\left( -\dfrac{1}{n}\cos nx\right)\,dx\\&=-\dfrac{1}{n\pi }\left( \pi \cos n\pi -\left( -\pi \right) \cos \left(-n\pi \right) \right) +\left. \dfrac{1}{\pi }\dfrac{1}{n}\left( \dfrac{1}{n}\sin nx\right) \right\vert _{-\pi }^{\pi }\\&=-\dfrac{2}{n}\cos n\pi +\dfrac{1}{\pi }\dfrac{1}{n^{2}}\left( \sin n\pi-\sin \left( -n\pi \right) \right)\\&=-\dfrac{2}{n}\cos n\pi +\dfrac{2}{\pi n^{2}}\sin n\pi\\&=-\dfrac{2}{n}\cos n\pi.\end{aligned}

Do exposto a série de Fourier é

x=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{2}{n}\cos n\pi \sin nx,\qquad -\pi< x<\pi.

Gráficos de f(x)=x  (azul) e da soma parcial \sum_{n=1}^{10 }\frac{-2}{n}\cos n\pi \sin nx  (vermelho) para  -\pi< x<\pi . A série de Fourier converge para uma função periódica g(x), cuja restrição em ]-\pi,\pi[ coincide com f(x)=x. O período de  g(x) é 2\pi e tem saltos em x=\pi+2m\pi, em que m\in\mathbb{Z}. Nestes saltos a série de Fourier converge para \frac{g(x^{-})+g(x^+)}{2}=0. No ponto x=\frac{\pi }{2} usado abaixo temos portanto  g(\pi/2)=f(\pi/2)=\pi/2.

Fazendo x=\dfrac{\pi }{2} e dividindo a série nos termos de ordem par (n=2k) e nos de ímpar (n=2k-1), restam apenas os ímpares, porque \cos 2k\pi \sin 2k\pi =0, k=1,2,\ldots . Como tal,

\begin{aligned}\dfrac{\pi }{2} &=-2\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{1}{2k-1}\cos \left( (2k-1)\pi\right) \sin \dfrac{\left( 2k-1\right) \pi }{2}\\&\\&\left(\cos \left( (2k-1)\pi \right) =\cos\left( 2k\pi -\pi \right) =\cos  (-\pi )=-1\right)\\&\left(\sin\dfrac{\left( 2k-1\right)\pi }{2}=\sin\left( k\pi -\dfrac{\pi}{2}\right) =-\cos k\pi =(-1)^{k+1}\right)\\&\\\dfrac{\pi }{2}&=-2\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{(-1)(-1)^{k+1}}{2k-1}  \Leftrightarrow\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{k+1}}{2k-1}=\dfrac{\pi }{4}.\end{aligned}

Poderá encontrar outro exemplo de como calcular a soma de uma série através de um desenvolvimento em série de Fourier nesta resposta.

Adenda: na resposta referenciada calculei o seguinte desenvolvimento em série de Fourier de \left\vert \cos (x)\right\vert no intervalo  [-\pi ,\pi ]

\begin{aligned}\left\vert \cos x\right\vert =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos (nx)+b_{n}\sin (nx)\right) =\dfrac{2}{\pi }+\dfrac{4}{\pi }\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{m}}{1-4m^{2}}\cos (2mx)\end{aligned}

da qual se obtém para x=0

\begin{aligned}1=\dfrac{2}{\pi }+\dfrac{4}{\pi }\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{m}}{1-4m^{2}}=\dfrac{2}{\pi }-\dfrac{4}{\pi }\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n-1}}{1-4n^{2}}.\end{aligned}

donde

\begin{aligned}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n-1}}{1-4n^{2}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi }{4}.\end{aligned}

Editado em 6-3-2014.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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