Determinação do valor da função zeta no inteiro 4 via série trigonométrica de Fourier do monómio mónico cúbico

No artigo Determinação dos valores da função zeta nos pares através de uma série de Fourier apresentei um método recorrente para obter \zeta(2n) a partir da série trigonométrica de Fourier de x^{2n}. Agora, a partir da questão do Mathematics Stack Exchange a seguir referenciada, mostro como se pode calcular \zeta(4) a partir do desenvolvimento em série de x^{3} em vez de x^{4}. Penso que este método será generalizável para n=6,8,\dots.

Na questão recente Compute \sum_{n = 1}^{\infty}1/n^4, NasuSama determinou a série trigonométrica de Fourier de x^3, da qual deduziu, fazendo x=\pi, a seguinte identidade

\dfrac{3\pi^3}{4}= \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{6(\pi^2 n^2 - 2)(-1)^n + 12}{\pi n^4}(-1)^n,

a partir da qual pediu para se calcular o valor de \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\dfrac{1}{n^4}.

Resolução: da sua identidade

\dfrac{3\pi^3}{4}= \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{6(\pi^2 n^2 - 2)(-1)^n + 12}{\pi n^4}(-1)^n,

desenvolvendo o lado direito e usando o resultado  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}=\dfrac{\pi^2}{6}, obtemos

\begin{aligned}\dfrac{3\pi ^{4}}{4} &=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{6(\pi^{2}n^{2}-2)(-1)^{n}+12}{n^{4}}(-1)^{n}\\&=6\pi ^{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{2}}-12\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}+12\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n}}{n^{4}}\\&=\pi ^{4}-12\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}-12\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{4}}.\end{aligned}

Agora necessitamos de exprimir a série alterna \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{4}} em termos de \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}, por exemplo, como segue

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{4}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{(2n)^{4}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}-\dfrac{1}{2^{3}}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}=\dfrac{7}{8}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}.

Logo

\begin{aligned}\dfrac{3\pi ^{4}}{4}&=\pi ^{4}-12\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}-\dfrac{21}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}\\&=\pi ^{4}-\dfrac{45}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}.\end{aligned}

Finalmente, resolvendo em ordem a \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}} obtemos

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{4}}=\dfrac{2}{45}\left( \pi ^{4}-\dfrac{3\pi^{4}}{4}\right) =\dfrac{\pi ^{4}}{90}.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Análise de Fourier, Exercícios Matemáticos, Matemática, Mathematics Stack Exchange, Problemas, Séries, Teoria dos Números com as etiquetas , , . ligação permanente.

3 respostas a Determinação do valor da função zeta no inteiro 4 via série trigonométrica de Fourier do monómio mónico cúbico

  1. Anônimo diz:

    Olá :D

    Américo não entendi essa passagem :

    \sum_{n=1}^{\infty}\;\frac{(-1)^{n-1}}{n^4}=\sum_{n=1}^{\infty}\;\frac{1}{n^4}-\frac{1}{2}*\sum_{n=1}^{\infty} \; \frac{1}{(2n)^4}

    Poderia me explica melhor, talvez eu esteja me esquecendo de algo.Abraço. :D

  2. Anônimo diz:

    Olá :D

    Compreendir esses passos, mas essa manipulação seria uma reordenação de série? se for então vc só fez isso por que a série é absolutamente convergente né?

    Grande abraço, seus post são muito criativos.

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