Identidade envolvendo a soma de funções trigonométricas inversas

Mostre que para 0\leq x\leq 1, em que x está em radianos, se tem

\arcsin \sqrt{x}+\arcsin \sqrt{1-x}=\dfrac{\pi }{2}.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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5 respostas a Identidade envolvendo a soma de funções trigonométricas inversas

  1. Prof. Paulo Sérgio diz:

    Um modo de resolver a questão é a seguinte: Seja f(x) a expressão acima para x no intervalo acima. Em seguida, mostre que f'(x)=0. Portanto, pelo TVM, esta função é constante, ou seja, f(x)=k. Para x=0 ou 1, segue que k=\pi/2.

  2. Gostei bastante da resposta do Prof.Sérgio. Apresento aqui a solução meramente trigonométrica que encontrei:

    Seja \displaystyle\alpha=\arcsin\sqrt{x}, como 0\leq x\leq1,, então 0\leq\alpha\leq\pi, assim, \sin\alpha=\sqrt{x}, portanto \sin^2\alpha=x, usando a identidade trigonométrica fundamental temos, 1-\cos^2\alpha=x, temos então que 1-x=\cos^2\alpha, assim, \sqrt{1-x}=\cos\alpha, lembrando que \cos\theta=\sin(\frac{\pi}{2}-\theta), temos \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sqrt{1-x}, logo \arcsin\sqrt{1-x}=\dfrac{\pi}{2}-\alpha.
    Substituindo esses valores na equação inicial temos
    \displaystyle\arcsin\sqrt{x}+\arcsin\sqrt{1-x}=\alpha+\frac{\pi}{2}-\alpha=\frac{\pi}{2}
    c.q.d

    Bem legal essa igualdade!

    [Editado para corrigir erros no código LaTeX. Nota: deve haver um espaço em branco entre “latex” a seguir ao $ inicial e o código] AT

  3. Novamente o comentário, mas agora com a linguagem correta:
    Gostei bastante da resposta do Prof.Sérgio. Apresento aqui a solução meramente trigonométrica que encontrei:

    Seja \displaystyle\alpha=\arcsin\sqrt{x}, como 0\leq x\leq1,, então 0\leq\alpha\leq\pi, assim, \sin\alpha=\sqrt{x}, portanto \sin^2\alpha=x, usando a identidade trigonométrica fundamental temos, 1-\cos^2\alpha=x, temos então que 1-x=\cos^2\alpha, assim, \sqrt{1-x}=\cos\alpha, lembrando que \cos\theta=\sin(\frac{\pi}{2}-\theta), temos \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sqrt{1-x}, logo \arcsin\sqrt{1-x}=\dfrac{\pi}{2}-\alpha.
    Substituindo esses valores na equação inicial temos
    \displaystyle\arcsin\sqrt{x}+\arcsin\sqrt{1-x}=\alpha+\frac{\pi}{2}-\alpha=\frac{\pi}{2}
    c.q.d

    Bem legal essa igualdade!

    [Editado. Nota: deve haver um espaço em branco entre “latex” a seguir ao $ inicial e o código] AT

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