Determinação do seno da soma das raízes de uma equação linear no seno e no co-seno

A questão How do I determine the sign of sin θ in this question, no MSE, de  shaurya gupta, apresenta o seguinte problema interessante, que passo a traduzir:

\alpha e \beta são dois valores distintos de \theta, situados entre 0 e 2\pi, que satisfazem a equação 6\cos\theta + 8\sin\theta = 9. Determine \sin(\alpha+\beta).

Para este tipo de equações é fácil determinar as suas raízes, como já exemplifiquei numa entrada anterior (aqui). Na minha resposta não utilizei nenhum dos métodos.

Resolução: Não necessitamos de  determinar nem \alpha nem \beta, isto é resolver a equação linear em \cos\theta e \sin\theta dada, que podería ser transformada numa equação quadrática em \tan\frac{\theta}{2}.

Igualando as equações satisfeitas por \alpha and \beta

6\cos\alpha+8\sin\alpha=9

6\cos \beta +8\sin\beta =9,

e, de seguida, simplificando e reordenando os termos, obtemos

3\left( \cos \alpha -\cos \beta \right) =4\left( \sin \beta -\sin \alpha  \right).

Applicando as identidades trigonométricas de transformação de uma soma num produto

\begin{aligned}\cos\alpha -\cos\beta&=-2\sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta }{2}\\\sin\beta-\sin\alpha&=-2\sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta }{2},\end{aligned}

supondo que^1  \sin\dfrac{\alpha-\beta }{2}\ne 0 tem-se

\begin{aligned}-3\times 2\sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}\sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}&=-4\times 2\sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}\cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}\\3\sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}&=4\cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}\\  \tan\dfrac{\alpha +\beta }{2}&=\dfrac{4}{3}.\end{aligned}

Finalmente exprimindo \sin\left(\alpha+\beta\right) em termos de \tan\dfrac{\alpha +\beta }{2}, usando as identidades da duplicação de ângulos, achamos

\sin\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{2\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}}{1+\tan ^{2}\dfrac{\alpha+\beta }{2}}=\dfrac{2\left( \dfrac{4}{3}\right) }{1+\left( \dfrac{4}{3}\right)^{2}}=\dfrac{24}{25},

o que está de acordo com o valor  de \cos \left( \alpha +\beta \right) que fora calculado por shaurya gupta:

\cos\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{1-\tan^{2}\dfrac{\alpha+\beta}{2}  }{1+\tan^{2}\dfrac{\alpha +\beta }{2}}=\dfrac{1-\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}  }{1+\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}}=-\dfrac{7}{25}.

^1 A suposição de que \sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}\neq 0 é válida, pois que, se fosse 0\neq\dfrac{\alpha-\beta }{2}=\pi, então, sem perda de generalidade, poderíamos assumir que 0=\beta <\alpha =2\pi, mas então obteríamos uma contradição:

\begin{aligned}6\cos\left( 2\pi \right) +8\sin\left( 2\pi \right)&\neq 9\\  6\cos\left(0\right)+8\sin\left(0\right)&\neq 9.\end{aligned}

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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