Determinação da anuidade de uma série de pagamentos uniformes equivalente a dois investimentos discretos

O user78886 colocou no MSE a questão Calculating the value of Annuities, que traduzida, tem o seguinte enunciado:

« Em vez de investir \$3000 ao fim de 5 anos e \$4000 ao fim de 10 anos, Steve deseja efectuar regularmente pagamentos mensais que após 10 anos resultem no mesmo montante. Determine o valor de cada pagamento mensal, se os juros forem capitalizados mensalmente a uma taxa anual de juro composto de 4\%»

Tradução da minha resposta:

Do ponto de vista matemático podemos estabelecer uma equivalência entre os investimentos (no final dos 5 e dos 10 anos) e uma série de 120 pagamentos constantes mensais.

Visto que o número de períodos de composição é de m=12 por ano, a taxa de juro (nominal) anual r=4\%=0,04 significa uma taxa de juro mensal i=\frac{r}{m}=\frac{4}{12}\%=\frac{0,04}{12}.

O investimento hipotético de \$3000 ao fim de 5 anos (60 meses) acumularia juros durante 5 anos (60 meses). Por isso, o seu valor futuro seria

F^{\prime }=3000\left( 1+i\right)^{60}=3000\left( 1+0,04/12\right) ^{60}\approx 3663,0.

Adicionando o segundo investimento hipotético F^{\prime \prime }=\$4000 resulta num valor futuro total F=F^{\prime }+F^{\prime \prime }\approx\$7663,0 ao fim de 10 anos. Designemos por A (anuidade) cada um dos pagamentos mensais. O pagamento no final do mês k aumenta para um valor futuro  F_{k}=A(1+i)^{n-k} ao fim de n=120 meses. Somando todas estes F_{k} a progressão geométrica resultante de n pagamentos, cuja razão é c=1+i, deve ser igual a F, em consequência do que se escreveu acima. Aplicando a fórmula da soma de uma progressão deste tipo, obtemos

F=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}F_{k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}A(1+i)^{n-k}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}Ac^{j-1}=A  \dfrac{c^{n}-1}{c-1}=A\dfrac{(1+i)^{n}-1}{i}.

Numéricamente chega-se a

A=F\dfrac{i}{(1+i)^{n}-1}=7663,0\dfrac{\frac{0,04}{12}}{(1+\frac{0,04}{12})^{120}-1}\approx \$52,04.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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4 respostas a Determinação da anuidade de uma série de pagamentos uniformes equivalente a dois investimentos discretos

  1. António Monteiro diz:

    Gostaria de saber como resolver esse Exercício:
    A marta venceu um prémio de na lotaria e foi-lhe proposta a opção por um dos seguintes prémios monetários:
    A- 170000 £ ,ao fim de 5 anos
    B-17000£ anualmente, durante 10 anos
    C-4000£ por ano enquanto viver
    D-90000 a vista
    Pergunto: Qual é a melhor alternativa, pressupondo um taxa de juro (custo de oportunidade no mercado) de 6,75% anual efetiva.

    • Sebastião Vieira do Nascimento diz:

      Campina Grande-PB, 01 de janeiro de 2014
      Prezado Senhor:
      Sou professor titular (por concurso) aposentado da Universidade Federal de Campina Grande. Aprecio tanto este bolg que todo dia estou abrindo para ver as novidades.
      Atenciosamente
      Sebastião

  2. Sebastião Vieira do Nascimento diz:

    Para saber qual das 4 alternativas é a melhor , basta achar o valor atual de cada uma; a que tiver o maior valor atual é a melhor.
    Abraços

    Sebá

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