Problema de trigonometria — rumo de um barco sujeito a uma corrente

Tradução de parte de uma questão de Threethumb, no MSE:

«Um barco precisa de rumar para um porto situado numa direcção de 065°.  Em águas calmas o barco navega à velocidade de 35 km/h, mas uma corrente de 3 km/h na direcção de 320º faz mover a água. Que rumo deve tomar o barco para chegar ao  porto? Poderá achar mais fácil resolver esta questão usando trigonometria em vez de componentes cartesianas [das velocidades].»

Tradução da minha resposta:

Parto do princípio que os ângulos são medidos na direcção dos ponteiros do relógio a partir de uma direcção de referência de 0^\circ que é o Norte.

Usando trigonometria o problema reduz-se a determinar um ângulo de um triângulo sabendo dois dos lados e outro ângulo.

A velocidade da água  é representada pelo vector azul com uma norma de 3\, \mathrm{km/h}.  Para resolver o problema necessitamos de determinar a direcção do vector preto, cuja norma é de 35\, \mathrm{km/h}. Isto quer dizer que precisamos de achar o ângulo \theta=A do triângulo \Delta=[A,B,C], sabendo os lados a=3 e b=35, e o ângulo B=105^\circ. Da lei dos senos

\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}

deduz-se que

\sin\theta=\sin A=\dfrac{a\sin B}{b}=\dfrac{3\sin 105^\circ}{35}.

Assim

\theta=\arcsin\left( \dfrac{3\sin 105^\circ}{35}\right)\approx 4,749^\circ .

Isto significa que o barco deve tomar a direcção

65^\circ+\theta\approx 69.75^\circ,

à velocidade de 35\, \mathrm{km/h}. De uma nova aplicação da lei dos senos ao lado c e ângulo C, obtém-se c=34,103\, \mathrm{km/h}, que é a velocidade resultante do barco na direcção do porto.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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