Limite de uma diferença de duas funções irracionais sêxtuplas com radicando do 6.º grau

Numa questão (aqui) do Mathematics Stack Exchange o user6163 perguntou como se pode determinar o seguinte limite:

\displaystyle\lim_{x\to \infty}\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}

A minha resolução baseou-se na utilização do desenvolvimento

\sqrt[6]{1+x^{-1}}=1+\dfrac{1}{6}x^{-1}+O\left( x^{-2}\right) ,

que se pode obter fazendo a mudança de variáveis x=1/z, desenvolver em torno de z=0

\sqrt[6]{1+z}=1+\dfrac{1}{6}z+O\left( z^{2}\right)

e inverter a substituição z\rightarrow 1/x.

Seja f(x)=\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}. Se \lim_{x\rightarrow +\infty }(x)=L, então \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-L porque f(-x)=-f(x). Tem-se

f(x) =\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}=\left\vert x\right\vert \left( \sqrt[6]{1+x^{-1}}-\sqrt[6]{1-x^{-1}}\right).

Dado que

\sqrt[6]{1+x^{-1}} =1+\dfrac{1}{6}x^{-1}+O\left( x^{-2}\right)\quad\text{e}\quad\sqrt[6]{1-x^{-1}} =1-\dfrac{1}{6}x^{-1}+O\left( x^{-2}\right),

obtém-se

\sqrt[6]{1+x^{-1}}-\sqrt[6]{1-x^{-1}}=\dfrac{1}{3}x^{-1}+O\left(  x^{-2}\right)

e para x>0

x\left( \sqrt[6]{1+x^{-1}}-\sqrt[6]{1-x^{-1}}\right) =\dfrac{1}{3}+O\left(  x^{-1}\right).

E, portanto

\begin{aligned}L&=\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x) =\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\vert x\right\vert \left( \sqrt[6]{1+x^{-1}}-\sqrt[6]{1-x^{-1}}\right)\\&=\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{1}{3}+O\left( x^{-1}\right) =\dfrac{1}{3}.\end{aligned}

Gráfico de f(x)

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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