Uma substituição alternativa à de Euler para primitivação de funções irracionais quadráticas

A propósito da questão de juantheron sobre a integração de

\displaystyle\int\dfrac{dx}{(x^{2}-x+1)\sqrt{x^{2}+x+1}}

tomei conhecimento, na Table of Integrals, Series, and Products de I.S. Gradshteyn e I.M. Ryzhik, de uma substituição que tal como a de Euler, já exemplificada neste blogue (aqui e aqui), é aplicável a funções integrandas da forma R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}), em que R(x,u) é uma função racional de x e u=\sqrt{ax^2+bx+c}.

Tradução da minha resolução:

Em vez da substituição de Euler podemos utilizar o seguinte método, adaptado de um procedimento geral explicado em 2.252 de Table of Integrals, Series, and Products de I.S. Gradshteyn e I.M. Ryzhik, 7th. ed.

A substituição

x=\dfrac{1-t}{t+1},\quad dx=-\dfrac{2}{\left( t+1\right) ^{2}}dt,\quad t=-\dfrac{x-1}{x+1}

reduz o cálculo do integral dado

I=\displaystyle\int\dfrac{dx}{(x^{2}-x+1)\sqrt{x^{2}+x+1}}

ao de uma soma de dois integrais

I=-2\displaystyle\int\dfrac{t}{\left( 3t^{2}+1\right) \sqrt{t^{2}+3}}dt-2\displaystyle\int\dfrac{1}{  \left( 3t^{2}+1\right) \sqrt{t^{2}+3}}dt.

O primeiro integral pode calcular-se através da substituição

u=\sqrt{t^{2}+3},

enquanto que o segundo é integrável fazendo a substituição

v=\dfrac{t}{\sqrt{t^{2}+3}}.

Ambas as substituições transformam os integrandos em fracções racionais simples, a saber

\begin{aligned}I_{1}&=-2\displaystyle\int\dfrac{t}{\left( 3t^{2}+1\right)\sqrt{t^{2}+3}}dt=-2\displaystyle\int\dfrac{1}{-8+3u^{2}}\,du,\qquad u=\sqrt{t^{2}+3}\\&=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\mathrm{arctanh }\,(\dfrac{\sqrt{6}}{4}u)\\I_{2}&=-2\displaystyle\int\dfrac{1}{\left( 3t^{2}+1\right) \sqrt{t^{2}+3}}dt=-2\displaystyle\int  \dfrac{1}{8v^{2}+1}\,dv,\qquad v=\dfrac{t}{\sqrt{t^{2}+3}}\\  &=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan (2\sqrt{2}v)\\I &=I_{1}+I_{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\mathrm{arctanh }\,\dfrac{\sqrt{6}\sqrt{t^{2}+3}}{4}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \dfrac{2\sqrt{2}t}{\sqrt{t^{2}+3}}+C.\end{aligned}

Finalmente obtemos

\begin{aligned}I=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\mathrm{arctanh }\,\dfrac{\sqrt{6}\sqrt{x^{2}+x+1}}{2\left( x+1\right) }+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \dfrac{\sqrt{2}\left( x-1\right) }{\sqrt{x^{2}+x+1}}+C.  \end{aligned}

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Uma substituição alternativa à de Euler para primitivação de funções irracionais quadráticas

  1. Olá Tavares, muito interessante o problema proposto. Sua solução simples e eficaz, vem mostrar o quanto você está treinado em resolver integrais indefinidas. Parabéns!

    • Prof. Paulo Sérgio

      Muito obrigado! No MSE aparecem muitas questões sobre integrais, muitos dos quais estão acima do nível que geralmente é ensinado no 1.º ano de Cálculo, como este. Há por lá pessoas muito conhecedoras do cálculo de integrais definidos e especialmente indefinidos de nível avançado. Neste caso desconhecia esta substituição e lembrei-me de ir consultar a “Bíblia” dos integrais.

      Desejo-lhe Festas Felizes e um Bom 2014.

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