Substituição de Weierstrass para integração de funcões trigonométricas: exemplo

Na questão How to evaluate the trigonometric integral  \int \frac{1}{\cos x+\tan x }dx, de Yun Fei Ou Yang , no MSE, o autor pretende calcular

\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos x+\tan x }dx.

Na minha resposta utilizei a substituição de Weierstrass. Eis a tradução:

Para calcular o integral pedido pode aplicar-se a substituição de Weirstrass

t=\tan\dfrac{x}{2}\Leftrightarrow x=2\arctan t,\,dx=\dfrac{2}{  1+t^{2}}dt,

como comentado acima. A função integranda transforma-se numa fracção racional de t, pois

\cos x=\dfrac{1-\tan ^{2}\frac{x }{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\,\quad\sin x=\dfrac{2\tan \frac{x }{2}}{1+\tan ^{2}  \frac{x }{2}}=\dfrac{2t}{1+t^{2}}.

Assim temos

\begin{aligned}I&=\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos x+\tan x}\,dx,\qquad t=\tan\frac{x}{2}\\&=\displaystyle\int\dfrac{2}{\left( \dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\dfrac{2t}{1-t^{2}}\right)\left( 1+t^{2}\right) }\,dt\\&=\displaystyle\int\dfrac{2(1-t^{2})}{t^{4}+2t^{3}-2t^{2}+2t+1}\,dt.\end{aligned}

Dado que (ver adenda)

t^{4}+2t^{3}-2t^{2}+2t+1=\left( t^{2}+(1-\sqrt{5})t+1\right) \left( t^{2}+(1+\sqrt{5})t+1\right),

podemos decompor o integrando em fracções parciais

\dfrac{2(1-t^{2})}{t^{4}+2t^{3}-2t^{2}+2t+1}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\left( \dfrac{2t+1+\sqrt{5}}{t^{2}+(1+\sqrt{5})t+1}-\dfrac{2t+1-\sqrt{5}}{t^{2}+(1-\sqrt{5})t+1}\right).

Em consequência,

I=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\displaystyle\int\dfrac{2t+1+\sqrt{5}}{t^{2}+(1+\sqrt{5})t+1}\,dt-\frac{\sqrt{5}}{5}\displaystyle\int\dfrac{2t+1-\sqrt{5}}{t^{2}+(1-\sqrt{5})t+1}\,dt.

Pondo u(t)=t^{2}+(1+\sqrt{5})t+1,v(t)=t^{2}+(1-\sqrt{5})t+1, será então

\begin{aligned}I&=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\displaystyle\int\dfrac{u^{\prime }(t)}{u(t)}\,dt-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\displaystyle\int\dfrac{v^{\prime }(t)}{v(t)}\,dt\\&=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\log\left\vert u(t)\right\vert -\dfrac{\sqrt{5}}{5}\log\left\vert v(t)\right\vert +C\\&=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\log \left\vert \frac{t^{2}+(1+\sqrt{5})t+1}{t^{2}+(1-\sqrt{5})t+1}\right\vert +C\\&=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\log\left\vert\dfrac{\tan^{2}\frac{x}{2}+(1+\sqrt{5})\tan\frac{x}{2}+1}{\tan^{2}\frac{x}{2}+(1-\sqrt{5})\tan\frac{x}{2}+1}\right\vert +C.\end{aligned}

ADENDA: O polinómio

t^{4}+2t^{3}-2t^{2}+2t+1

é simétrico, ou seja, é da forma

at^{4}+bt^{3}+ct^{2}+bt+a

A sua factorização é da forma

\begin{aligned}t^{4}+2t^{3}-2t^{2}+2t+1 &=(t-t_{1})(t-t_{2})(t-t_{3})(t-t_{4}) \\&=\left( t^{2}-\left( t_{1}+t_{2}\right) t+t_{1}t_{2}\right) \left( t^{2}-\left( t_{3}+t_{4}\right) t+t_{3}t_{4}\right)  \end{aligned}

em que t_{i}, i=1,2,3,4, são as raízes. Façamos a mudança de variáveis

x=t+t^{-1}

Se dividirmos a equação

t^{4}+2t^{3}-2t^{2}+2t+1=0

por t^{2}, obtemos a equação equivalente

t^{2}+2t-2+2t^{-1}+t^{-2}=0,\qquad t\neq 0

Para exprimir o 1.º membro em termos de x, reparemos que

x^{2}=\left( t+t^{-1}\right) ^{2}=t^{2}+2+t^{-2}

pelo que

\begin{aligned}t^{2}+2t-2+2t^{-1}+t^{-2} &=(t^{2}+2+t^{-2})+2(t+t^{-1})-4 \\&=x^{2}+2x-4  \end{aligned}

Basta factorizar este polinómio em x

x^{2}+2x-4=\left( x+1-\sqrt{5}\right) \left( x+1+\sqrt{5}\right)

para concluir que

t^{2}+2t-2+2t^{-1}+t^{-2}=\left( t+t^{-1}+1-\sqrt{5}\right) \left(  t+t^{-1}+1+\sqrt{5}\right)

Como a equação

t+t^{-1}+1-\sqrt{5}=0

tem as mesmas raízes da equação quadrática

t^{2}+(1-\sqrt{5})t+1=0

a sua soma e produto são

\begin{aligned}t_{1}+t_{2} &=-1+\sqrt{5} \\  t_{1}t_{2} &=1\end{aligned}

O segundo par de raízes provém da equação

t+t^{-1}+1+\sqrt{5}=0

que tem as mesmas raízes de

t^{2}+(1+\sqrt{5})t+1=0

pelo que a sua soma e produto são

\begin{aligned}t_{3}+t_{4}&=-1-\sqrt{5} \\t_{3}t_{4}&=1  \end{aligned}

Combinando os resultados anterior conclui-se que

t^{4}+2t^{3}-2t^{2}+2t+1=\left( t^{2}+\left( 1-\sqrt{5}\right) t+1\right)\left( t^{2}+\left( 1+\sqrt{5}\right) t+1\right)

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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Uma resposta a Substituição de Weierstrass para integração de funcões trigonométricas: exemplo

  1. Teste LaTeX diz:

    Teste LaTeX
    \operatorname{tg}x = \frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}

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