Volume de cone elíptico como exercício de integração

Publicado em 28 de Junho de 2013 por Américo Tavares

Na questão Find volume on a shape with base of an ellipse  de user84004, no MSE, pede-se para determinar o volume de um cone elíptico recto, sabendo-se:

  • o semi-eixo maior da base: a=6;
  • o semi-eixo menor da base: b=4;
  • a altura do cone: 12.

Tradução da minha resposta: Suponha-se que o cone é vertical, o eixo é o dos zz e a base é uma elipse situada no plano xy, centrada em (x,y,z)=(0,0,0), cujo semi-eixo maior é a e semi-eixo menor é b. A equação da base é pois

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,\qquad z=0.

Seja h a altura do cone. A secção do cone de cota z é uma elipse cujo semi-eixo maior é

x_1=a\left( 1-\dfrac{z}{h}\right)

e semi-eixo menor é

x_2=b\left( 1-\dfrac{z}{h}\right)

por semelhança de triângulos (rectos), como se mostra no seguinte esboço:

A equação da periferia da secção é

\dfrac{x^2}{x_1^2}+\dfrac{y^2}{x_2^2}=1,\qquad z=z.

A área A(z) desta secção é portanto

A(z)=\pi x_1 x_2=\pi ab\left( 1-\dfrac{z}{h}\right) ^{2}.

O volume é o integral da área A(z) de z=0 a z=h

\begin{aligned}V&=\displaystyle\int_{0}^{h}A(z)\, dz=\displaystyle\int_{0}^{h}\pi ab\left( 1-\dfrac{z}{h}\right) ^{2}dz\\ &=\pi ab\displaystyle\int_{0}^{h}\left( 1-2\dfrac{z}{h}+\dfrac{z^{2}}{h^{2}}\right) dz\\&=\pi ab\left( h-h+\dfrac{h}{3}\right) =\dfrac{h}{3}\pi ab,\end{aligned}

isto é

V=\dfrac{1}{3}A_{\text{base}}\times \text{altura},

como era de esperar. Para a=6,b=4,h=12, tem-se:

V=\dfrac{h}{3}\pi ab=96\pi.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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