Justificar convergência/divergência de integral impróprio (x³exp(-x²))

Questão de user76508, no MSE, sobre a convergência/divergência do integral impróprio

\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^3e^{-x^2}\ dx.

Tradução da minha resposta: Tem-se

\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{3}e^{-x^{2}}dx=\int_{0}^{1}x^{3}e^{-x^{2}}dx+\int_{1}^{\infty}x^{3}e^{-x^{2}}dx.

O primeiro integral não tem singularidades. O segundo é convergente, como se pode ver, aplicando o critério do limite e utilizando o facto de que  \displaystyle\int_{1}^{\infty }\dfrac{dx}{x^{2}} é convergente:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{x^{3}e^{-x^{2}}}{x^{-2}}=0.

Em consequência o integral dado é convergente.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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