Factor de valor actual de uma série uniforme — Cálculo da taxa de juro

Tradução do post anterior, em inglês, com ligeiras adaptações.

Tradução da questão Calculating interest rate of car financing (Cálculo da taxa de juro de financiamento de um carro) do MSE, na qual Juan Hynix pergunta:

Quero um carro novo que custa $26 000.

Existe uma proposta de financiamento: pré-pagamento imediato: 25% do preço

O montante em dívida é financiado com um empréstimo: Duração: 5 anos, prestações de $400 no final de cada mês.

Preciso de calcular a taxa de juro do empréstimo. É necessário usar o Excel para resolver este exercício? Ou que fórmula poderei aplicar?

Tradução da Minha resposta:

Poderá usar o Excel (ver em baixo) ou poderá resolver numericamente a equação (2), p. ex. pelo  método da secante.

Temos uma chamada série uniforme de n=60 prestações constantes m=400.

Seja i a taxa de juro anual nominal. O juro é composto mensalmente, o que significa que o número de períodos de composição, em cada ano, é 12. Consequentemente, a taxa de juro  das prestações mensais m é igual a i/12. O valor de m no mês k é equivalente ao valor actual m/(1+i/12)^{k}. Somando em k, de 1 a n, o valor obtido há-de ser igual a

P=26000-\dfrac{26000}{4}=19500.

Essa soma é a de uma progressão geométrica com n termos, razão 1+i/12 e primeiro termo m/(1+i/12). Assim

P=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{m}{\left( 1+\dfrac{i}{12}\right) ^{k}}=\dfrac{m}{1+\dfrac{i}{12}}\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+i/12}\right) ^{n}-1}{\dfrac{1}{1+i/12}-1}=m\dfrac{\left( 1+\dfrac{i}{12}\right) ^{n}-1}{\dfrac{i}{12}\left( 1+\dfrac{i}{12}\right) ^{n}}.\qquad (1)

À relação P/m chama-se o factor de valor actual (da série uniforme); em inglês, present-worth factor (uniform series)^1.

Para P=19500, m=400 e n=5\times 12=60 tem-se:

19500=400\dfrac{\left( 1+\dfrac{i}{12}\right) ^{60}-1}{\dfrac{i}{12}\left( 1+\dfrac{i}{12}\right) ^{60}}.\qquad (2)

Resolvi numericamente (2) em ordem a i, usando o SWP; obtive

i\approx 0.084923\approx 8.49\%.\qquad (3)

Cálculo em Excel para um principal P=19500 e uma taxa de juro i=0.084923 determinada antes.

– A coluna k é o mês (1\le k\le 60).
– A 2.ª coluna é o montante P_k ainda a pagar, no início do mês k.
– A 3.ªcoluna é o juro P_ki/12 devido no mês k.
– A 4.ª coluna é a soma P_k+P_ki/12.
– A 5.ª coluna é a prestação paga no final do mês k.

O montante P_k verifica P_{k+1}=P_k+P_ki/12-m. Vemos que no final do mês k=60, P_{60}+P_{60}i/12=400=m. A última mensalidade m=400 no final do mês k=60 salda completamente a dívida que estava em falta, que é também de 400. Poderíamos determinar i por tentativas, começando em i=0.01 e deixando que a folha de cálculo determinasse os valores da tabela, até que tivessemos na última linha exactamente P_{60}+P_{60}i/12=400.

^1 James Riggs, David Bedworwth and Sabah Randdhava, Engineering Economics, McGraw-Hill, 4th. ed., 1996, p.43.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Cálculo financeiro, Matemática, Mathematics Stack Exchange com as etiquetas , , . ligação permanente.

5 respostas a Factor de valor actual de uma série uniforme — Cálculo da taxa de juro

  1. Sebastião Vieira do Nascimento diz:

    Prezado Américo Tavares:
    Sobre Factor de valor actual de uma série uniforme – cálculo da taxa de juro.
    Se as prestações, na compra do carro, são mensais, então, a taxa de juro também deve ser mensal.
    Por que a taxa calculada foi aproximadamente 8,49% ao ano?
    Eu resolvi o problema, e lhe enviei não sei se você recebeu. A taxa de juro que encontrei foi aproximadamente: i = 0,7077% ao mês.

    Abraços

    Sebá (se.ba@uol.com.br)

    • Caro Professor Sebastião Vieira do Nascimento,

      Recebi três emails seus, que só agora abri, dois relativos às Conjecturas sobre dois primos consecutivos e outro com a Resolução do Problema do Professor Gowers, sobre o qual eu publicara uma resolução no post Prazo de liquidação de um empréstimo (número de períodos de uma série uniforme (aqui). Relativamente a este post não recebi nenhum email da sua parte.

      Sobre as suas Conjecturas vi que é um assunto que, embora me interesse, pouco sei dele.

      Quanto aos dois problemas de juros, verifiquei que ambos usámos as mesmas fórmulas, a da relação entre valor presente (ou actual) e a anuidade, em função do número de períodos e da taxa de juro por período e a da relação entre taxa de juro efectiva e a taxa por período. A diferença está em que eu, quer aqui, quer no Problema do Professor Gowers, considerei a taxa de juro (anual) como sendo nominal e não efectiva, por ser essa a forma habitual como os bancos aqui, em Portugal, publicitam a taxa de juro, podendo ou não serem obrigados a referir também a taxa anual efectiva equivalente. Concretizando, no Problema do Professor Gowers, a taxa de 5%, no meu cálculo, é uma taxa anual nominal, e no seu é uma taxa anual efectiva. Estes 5% nominais correspondem a 5,1162% efectivos.

      Abraços

  2. Sebastião Vieira do Nascimento diz:

    Prezado Américo Tavares:
    Conversando com meus colegas do departamento de matemática, eles me aconselharam a procurar um blog onde se publica problemas relacionados com a matemática, para publicar as minhas conjecturas. Eles disseram: quem sabe após publicar suas conjecturas num blog de matemática, um matemático especialista em teoria dos números um dia possa ler as suas conjecturas e demonstrá-las ou até dar um contra-exemplo? Após ouvir os colegas, lembrei-me de sei blog.
    Então, diante do exposto, desejaria saber se há espaço no seu blog para publicar as minhas conjecturas.
    Espero que você encontre um espaço em seu blog para publicar as minhas conjecturas e certo de que o espaço cedido não lhe venha trazer o menor inconveniente, aproveito-me da oportunidade para apresentar-lhe, de antemão, os meu agradecimentos.
    Avise-me, por favor, do recebimento.
    Abraços
    Professor Sebá

    • Caro Professor Sebastião Vieira do Nascimento,

      O melhor seria criar um blog seu, que, por facilidade de escrita matemática, em LaTeX, com as devidas adaptações, aconselho a que seja no WordPress, como este. Mas também poderá escolher o Blogspot , como, por exemplo, o blog Fatos Matemáticos, do Prof. Paulo Sérgio (http://fatosmatematicos.blogspot.pt/). Assim teria toda a liberdade de publicar o que e quando quizesse. Mas, também posso publicar aqui no Problemas e Teoremas artigos seus, como fiz no caso do artigo do Professor Gervasio Gurgel Bastos — Sobre Raízes Reais da Cúbica Real (aqui).

      Abraço

      PS. Porventura melhor seria colocar as suas conjecturas, uma de cada vez, como questões (em inglês), no Mathematics Stack Exchange (link na barra lateral), fazendo perguntas específicas, nomeadamente quanto ao que sobre cada uma é ou não conhecido.

  3. Sebastião Vieira do Nascimento diz:

    Prezado Américo Tavares:
    Para mim será um grande prazer ver as minhas conjecturas publicadas em seu blog.
    Abraços
    Professor Sebá

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s