Comportamento assimptótico da sucessão de termo geral n² log(1+1/n)

Mostre que

n^{2}\log \left( 1+\dfrac{1}{n}\right) \sim n.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Comportamento assimptótico da sucessão de termo geral n² log(1+1/n)

  1. Abre em série log(1+z)=soma sobre k>=1 de (-1)^(k+1)/k*z^k
    Trocando z por 1/n: log(1+1/n)=soma sobre k>=1 de (-1)^(k+1)/k*n^(-k)
    Multiplicando por n^2: n^2*log(1+1/n)=soma sobre k>=1 de (-1)^(k+1)/k*n^(-k+2)
    Abrindo a soma: n^2*log(1+1/n)=n-1/2+O(1/n)

    [Transcrição e formatação em \LaTeX

    Abre em série

    \log(1+z)=\displaystyle\sum_{k\ge 1}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}z^k
    Trocando z por 1/n:

    \log\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\displaystyle\sum_{k\ge 1}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}n^{-k}
    Multiplicando por n^2:

    n^2\log\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\displaystyle\sum_{k\ge 1}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}n^{-k+2}
    Abrindo a soma:

    n^2\log\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=n-\dfrac{1}{2}+O\left(\dfrac{1}{n}\right)

    ] AT

  2. Obrigado. Depressa e bem!

    Para concluir

    \dfrac{n^2\log\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{n}=1-\dfrac{1}{2n}+O\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\to 1

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