Área de região definida por coordenadas polares

Nesta questão de shadow, no MSE, pede-se para determinar a área da seguinte região do 1.º quadrante, em que a curva a vermelho é definida, em coordenadas polares por r=\theta e a curva azul por r=e^{\theta/2}.

regiaocordenadaspolares

Eis a tradução da minha resposta:

Temos de achar a área da região R entre r=\theta e r=e^{\theta/2}, e entre \theta =0 e \theta =\pi /2. Uma vez que o jacobiano da transformação de coordenadas cartesianas em polares é igual a r, a área A é dada pelo integral duplo (ver esta resposta (tradução))

\begin{aligned}A&=\displaystyle\iint_{R}dA=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\left(\displaystyle\int_{\theta }^{e^{\theta /2}}r\;dr\right)d\theta\\&=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\left(\dfrac{e^{\theta }}{2}-\dfrac{\theta ^{2}}{2}\right)d\theta\\&=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}e^{\theta }d\theta -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\theta ^{2}\ d\theta\\&=\big(\dfrac{e^{\pi /2}}{2}-\dfrac{1}{2}\big)-\dfrac{\pi^{3}}{48}.\end{aligned}

Adenda: área da cardióide. Em resposta à questão de Person, no MSE, calculei a área interior da cardióide representada na figura,  definida pela equação polar

r=4a\cos ^{2}\dfrac{\theta }{2}

cardioidcentered

\begin{aligned}A_{\text{cardi\'{o}ide}}&=\displaystyle\int_{0}^{2\pi }\left( \displaystyle\int_{0}^{4a\cos^{2}\dfrac{\theta }{2}}r\ \mathrm{d}r\right)\ \mathrm{d}\theta=\displaystyle\int_{0}^{2\pi }\left( \left. \dfrac{r^{2}}{2}\right\vert _{0}^{4a\cos ^{2}\frac{\theta }{2}}\right)\ \mathrm{d}\theta=\displaystyle\int_{0}^{2\pi }\left( 8a^{2}\cos ^{4}\dfrac{\theta}{2} \right)\ \mathrm{d}\theta\\  &=6\pi a^{2}.\end{aligned}

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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