Integral definido de um radical imbricado

Na questão Integral with 4 radicals-hat, no MSE, Chris’s wise sister apresenta o seguinte integral com k=4 radicais, pedindo o seu cálculo, bem como uma generalização

\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+\sqrt{1 + {\sqrt{1+ \sqrt{x}}}}}\, dx .

Tradução da minha resposta:

1. Seja

\begin{aligned}u&=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}} \Leftrightarrow &x=\left( \left( u^{2}-1\right) ^{2}-1\right)  ^{2}=u^{8}-4u^{6}+4u^{4}.\end{aligned}

Visto que

dx=\left( 8u^{7}-24u^{5}+16u^{3}\right) du

tem-se

\begin{aligned}I&:=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}}\, dx\\&=\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+\sqrt{2}}}\sqrt{1+u}\left(8u^{7}-24u^{5}+16u^{3}\right)\, du.\quad\text{(c\'{a}lculo abaixo)}^\dag\end{aligned}

Cada um dos termos pode integrar-se usando a substituição t=\sqrt{1+u}

\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+u}u^{n}du=2\displaystyle\int_{\sqrt{1+a}}^{\sqrt{1+b}}t^{2}\left(  t^{2}-1\right)^{n}\,dt,\quad a=\sqrt{2},b=\sqrt{1+\sqrt{2}}.

2. Generalização a k=5 radicais

J:=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}}}\, dx.

De forma semelhante à de cima a substituição é agora

v=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{x}}}}\Leftrightarrow x=\left(\left(\left(v^{2}-1\right)^{2}-1\right)^{2}-1\right)^{2}

x=v^{16}-8v^{14}+24v^{12}-32v^{10}+14v^{8}+8v^{6}-8v^{4}-1,

e

dx=\left(16v^{15}-112v^{13}+288v^{11}-320v^{9}+112v^{7}+48v^{5}-32v^{3}\right) dv.

Assim

J=\displaystyle\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{1+v}\left(  16v^{15}-112v^{13}+288v^{11}-320v^{9}+112v^{7}+48v^{5}-32v^{3}\right)dv

\alpha=\sqrt{1+\sqrt{2}},\beta =\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{2}}}.

\dag Obtive no SWP

\begin{aligned}I&=-\dfrac{26\,704}{765\,765}\sqrt{1+\sqrt{\sqrt{2}+1}}\sqrt{\sqrt{2}+1}\sqrt{2}+\dfrac{83\,584}{765\,765}\sqrt{1+\sqrt{\sqrt{2}+1}}\sqrt{\sqrt{2}+1}\\&+\dfrac{344\,096}{765\,765}\sqrt{1+\sqrt{\sqrt{2}+1}}+\dfrac{67\,328}{109\,395}\sqrt{\sqrt{2}+1}-\dfrac{256}{3003}\sqrt{\sqrt{2}+1}\sqrt{2}\\&-\dfrac{17\,168}{765\,765}\sqrt{1+\sqrt{\sqrt{2}+1}}\sqrt{2}\\&\approx 1,584\,9.\end{aligned}

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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