Volume de região delimitada por cone e cilindro de eixos paralelos

Na questão do MSE Find volume inside the cone z= 2a-\sqrt{x^2+y^2} and inside the cylinder x^2+y^2=2ay, de user68203, pede-se, como o título indica, para determinar o volume da região do espaço interior ao cilindro x^2+y^2=2ay e limitada superiormente pelo cone z=2a-\sqrt{x^2+y^2} e inferiormente pelo plano z=0.

Tradução da minha resolução:

Convertendo a equação cartesiana da base (z=0) do cilindro vertical dado, a qual tem o centro em (0,a) e raio a,

x^{2}+y^{2}=2ay\Leftrightarrow x^{2}+\left( y-a\right) ^{2}=a^{2}\qquad (1)

a coordenadas polares x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta , obtive

r=2a\sin \theta ,\qquad (1\mathrm{a})

porque x^{2}+y^{2}=r^{2}, r>0, e

\begin{aligned}x^{2}+y^{2}-2ay&=0\Leftrightarrow r^{2}-2ar\sin\theta =0\\\Leftrightarrow r\left( r-2a\sin \theta\right)&=0\Leftrightarrow r=2a\sin\theta\end{aligned}\qquad (1\mathrm{b})

É de salientar que (1\mathrm{a}) poderia ser calculada directamente da figura abaixo, usando trigonometria simples.

Disco R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:0\le x^{2}+\left(y-a\right)^{2}\le a^{2} \};\, 0\leq r\leq 2a\sin\theta,0\leq\theta \leq\pi

O volume da região interior ao cilindro e limitada inferiormente pelo plano z=0 e superiormente pelo cone dado

z=2a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2a-r\qquad (2)

pode ser expressa pelo integral duplo

V=\displaystyle\iint_{R}2a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA,\qquad (3)

em que R é o disco limitado por (1). Em coordenadas polares dA=dx\, dy=r\,dr\,d\theta e a região de integração R é definida por 0\leq r\leq 2a\sin\theta , com 0\leq \theta \leq \pi . Logo  (3) transforma-se em

\begin{aligned}V&=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\left(\int_{0}^{2a\sin\theta }\left( 2a-r\right)\,r\,dr\right) \,d\theta\\&=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\left. ar^{2}-\dfrac{1}{3}r^{3}\right\vert _{0}^{2a\sin\theta }\,d\theta\\&=a\displaystyle\int_{0}^{\pi }\left( 2a\sin\theta\right) ^{2}\,d\theta -\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_{0}^{\pi }\left(2a\sin\theta\right)^{3}\,d\theta\\&=2a^{3}\pi -\dfrac{32}{9}a^{3}=\left(2\pi -\dfrac{32}{9}\right)a^{3},\end{aligned}\qquad (4)

em que os integrais de \sin^2\theta e \sin^3\theta foram calculados como segue:

\begin{aligned}\displaystyle\int_{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d\theta&=\int_{0}^{\pi }\dfrac{1-\cos 2\theta }{2}\,d\theta =\dfrac{\pi }{2},\\\displaystyle\int_{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta\,d\theta&=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\dfrac{3\sin  \theta -\sin 3\theta }{4}\,d\theta =\dfrac{4}{3}.  \end{aligned}\qquad (5)

Comentário final: talvez esteja mais próximo do espírito da pergunta, escrever os integrais duplos (3) e (4) como triplos, respectivamente,

V=\displaystyle\iint_{R}\left( \displaystyle\int_{0}^{2a-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dz\right) \,dA\qquad (3^\prime)

e

V=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\left( \displaystyle\int_{0}^{2a\sin \theta }\left(  \displaystyle\int_{0}^{2a-r}dz\right) \,r\,dr\right) \,d\theta .\qquad (4^\prime)

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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