Três quadrados e dois triângulos equiláteros — relação entre lados

Na figura:

– os vértices do triângulo equilátero interior situam-se sobre as bissectrizes do exterior;

– cada um dos quadrados partilha um lado com o triângulo menor e dois dos seus vértices estão sobre os lados do triângulo maior.

Mostre que a relação entre os lados do triângulo maior e menor é igual a 2+\sqrt{3}.

3quadrados3triangulos

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Três quadrados e dois triângulos equiláteros — relação entre lados

  1. Vanderlúcio diz:

    Sejam l o lado do triângulo maior e L, o lado do triângulo maior. O lado dos quadrados é igual ao lado do triângulo pequeno. Por semelhança, podemos verificar que dois dos lados dos triângulos são uma parte do lado L. O outro segmento é um dos lados de um triângulo isósceles, cujo os outros dois lados medem l e um dos ângulos é de 120 graus. Logo, este outro segmento mede \sqrt{3} e, portanto, L=(2 \sqrt{3})l.

    Editado:

    [ Sejam l o lado do triângulo menor e L, o lado do triângulo maior. O lado dos quadrados é igual ao lado do triângulo pequeno. Por semelhança, podemos verificar que dois dos lados dos triângulos são uma parte do lado L. O outro segmento é um dos lados de um triângulo isósceles, cujos outros dois lados medem l e um dos ângulos é de 120 graus. Logo, este outro segmento mede \sqrt{3} e, portanto, L=(2 +\sqrt{3})l.

    AT ]

    • Obrigado pela sua solução.

      Converti os códigos LaTeX para a versão reconhecida pelo WordPress e corrigi:
      – na 1.ª linha, “menor” em vez de “maior” (ou grande),
      – no penúltimo período, “cujo os outros dois lados” em vez de “cujos outros dois lados” e
      – no final, L=(2 \sqrt{3})l em vez de L=(2+ \sqrt{3})l.

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