Equação diferencial de uma curva de perseguição — problema

A curva de perseguição ou do cão (em inglês pursuit curve ) é uma curva clássica que foi estudada, entre outros,  por Pierre Bouguer, em 1732. Consiste na trajectória descrita por um ponto chamado perseguidor que se move em cada instante em direcção a outro, o perseguido. A curva descrita por este é conhecida por curva de fuga, sendo uma recta, no caso mais simples, como é o do problema deste post. O móvel  perseguidor e o perseguido podem representar, por exemplo, um cão e um gato, um homem e um porco, como neste puzzle antigo  de Sam Loyd’s, dois aviões, navios, etc. Pode ver-se uma demonstração animada em Hundenkurven.

Na questão Cat Dog problem using integration de pokrate, no MSE, é enunciado o seguinte problema que parece ter aparecido numa competição (das Olimpíadas da Física, segundo esta questão de Physics Forums), mas não consegui confirmar, e que passo a traduzir:

« Um gato sentado num campo vê de repente um cão. Para se salvar o gato foge em linha recta à velocidade u. O cão começa logo a correr a uma velocidade constante v>u para caçar o gato. No instante inicial a distância que os separa é L e v é perpendicular a u. Se o cão mudar constantemente de direcção, de modo a que esteja sempre a apontar para o gato, determinar o tempo que demora a apanhá-lo, em termos de v,u e L. »

Eis uma tradução da solução que apresentei:

Admita-se que: (a) o cão parte do ponto S=(L,0) e o gato da origem O=(0,0); (b) o gato move-se no sentido positivo ao longo do eixo dos yy, e o cão descreve uma curva de perseguição C no plano xy. Seja y=f(x) a equação de C.

catdogpursuitcurvevectors

1. No instante t a tangente a C no ponto P(x,y) passa pelo ponto Q=(0,ut), o que significa que a derivada y^{\prime }=f^{\prime }(x)=dy/dx é

y^{\prime }=\dfrac{y-ut}{x}

Resolvendo em ordem a t obtemos

t=\dfrac{y-xy^{\prime }}{u}.

2. Seja s a distância percorrida pelo cão de S a P, ou seja o comprimento do arco SP medido ao longo de C. Como a fórmula do comprimento de um arco é o integral

s=\displaystyle\int_{x}^{L}\sqrt{1+\left( f^{\prime }(\xi )\right) ^{2}}d\xi=-\displaystyle\int_{L}^{x}\sqrt{1+\left( f^{\prime }(\xi )\right) ^{2}}d\xi,

e s=vt, tem-se

t=\dfrac{s}{v}=-\dfrac{1}{v}\displaystyle\int_{L}^{x}\sqrt{1+\left( f^{\prime }(\xi)\right) ^{2}}d\xi =\dfrac{y-xy^{\prime }}{u}.

Igualando as duas expressões de t será pois

-\dfrac{u}{v}\displaystyle\int_{L}^{x}\sqrt{1+\left( f^{\prime }(\xi )\right) ^{2}}d\xi=y-xy^{\prime }

3. Diferenciando ambos os membros e simplificando vem

\begin{aligned}-\dfrac{u}{v}\sqrt{1+\left( y^{\prime }\right)^{2}}&=\dfrac{d}{dx}\left(y-xy^{\prime }\right)\\-\dfrac{u}{v}\sqrt{1+\left( y^{\prime }\right)^{2}} &=y^{\prime }-\left(y^{\prime }+xy^{\prime\prime }\right)=-xy^{\prime\prime},  \end{aligned}

obtendo-se a seguinte equação diferencial

\boxed{\sqrt{1+\left( y^{\prime }\right)^{2}}=kxy^{\prime \prime }},\qquad k=\dfrac{v}{u}>1

4. Fazemos agora w=y^{\prime } e resolvemos em ordem a w, aplicando o método de separação de variáveis, pelo que teremos

\sqrt{1+w^{2}}=kxw^{\prime }=kx\dfrac{dw}{dx}\Leftrightarrow\dfrac{dw}{\sqrt{1+w^{2}}}=\dfrac{dx}{kx}.

Logo

\begin{aligned}\displaystyle\int\dfrac{dw}{\sqrt{1+w^{2}}}&=\displaystyle\int\dfrac{dx}{kx}+C\\\text{arcsinh }w&=\dfrac{1}{k}\ln x+\ln C_{1}\end{aligned}

As condições iniciais x=L,w=y^{\prime }(L)=0 determinam o valor da
constante de integração C_{1}

0=\dfrac{1}{k}\ln L+\ln C_{1}\Rightarrow C_{1}=e^{-\frac{1}{k}\ln L}

Consequentemente

\text{arcsinh }w=\dfrac{1}{k}\ln x-\dfrac{1}{k}\ln L=\dfrac{1}{k}\ln\dfrac{x}{L}.

Resolvendo em ordem a w e exprimindo em termos de funções exponenciais, atendendo à definição de \sinh x=\dfrac{1}{2}\left( e^{x}-e^{-x}\right) , obtemos

\dfrac{dy}{dx}=w=\sinh\left(\dfrac{1}{k}\ln\dfrac{x}{L}\right) =\dfrac{1}{2}\left( \left(\dfrac{x}{L}\right)^{1/k}-\left(\dfrac{x}{L}\right)^{-1/k}\right)

Esta segunda equação diferencial  é facilmente integrável

\begin{aligned}y&=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\left( \dfrac{x}{L}\right) ^{1/k}-\left( \dfrac{x}{L}\right) ^{-1/k}dx\\&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{L}{\dfrac{1}{k}+1}\left(\dfrac{x}{L}\right) ^{\dfrac{1}{k}+1}-\dfrac{L}{1-\dfrac{1}{k}}\left(\dfrac{x}{L}\right) ^{1-\dfrac{1}{k}}\right)+C\end{aligned}

Determinamos C através das condições iniciais x=L,y=0

\begin{aligned}0&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{L}{\dfrac{1}{k}+1}\left(\dfrac{L}{L}\right)^{\dfrac{1}{k}+1}-\dfrac{L}{1-\dfrac{1}{k}}\left(\dfrac{L}{L}\right)^{1-\dfrac{1}{k}}\right)+C\\&\Rightarrow C=\dfrac{Lk}{k^{2}-1}.\end{aligned}

Chegamos assim à equação da trajectória:

\boxed{y=\dfrac{L}{2}\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{k}+1}\left(\dfrac{x}{L}\right) ^{\dfrac{1}{k}+1}-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{k}}\left(\dfrac{x}{L}\right) ^{1-\dfrac{1}{k}}\right) +\dfrac{Lk}{k^{2}-1}}.

5. Para obter o tempo T que o cão demora a apanhar o gato, basta fazer x=0 nesta equação e atender a que que o gato percorre a distância y=f(0)=uT:

y=f(0)=\dfrac{Lk}{k^{2}-1}=\dfrac{L\dfrac{v}{u}}{\left(\dfrac{v}{u}\right)^{2}-1}=\dfrac{uv}{v^{2}-u^{2}}L=uT.

donde

\boxed{T=L\dfrac{v}{v^{2}-u^{2}}}.

* * *

Nota 1: pode verificar-se facilmente que o  comprimento da curva C é igual à soma dos comprimentos dos segmentos de recta SM e MR. O ponto M está situado a meio da distância do ponto  S à origem O.

catdogpursuitcurve2straightlines

Nota 2: se k\le 1 o perseguidor nunca apanha o perseguido, como pode ver nas animações de Hundenkurven.

Nota 3: os gráficos foram criados como tikzpictures, em \LaTeX. O código foi adaptado desta resposta de percusse a esta minha questão no TEX (tex.stackexchange).

Referências:

Michael Lloyd, Pursuit Curves

Pursuit curve, Wikipedia (inglês)

Radiodrome, Wikipedia (alemão)

Pursuit curve, MathWorld

Helmut Knaust, The Curve of Pursuit

Carl E Mungan, A classic chase problem solved from a physics perspective

Dennis G. Zill, Michael R. Cullen, Michael R. Cullen, Differential Equations with Boundary-Value Problems, Exercise 5.17, p. 214

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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7 respostas a Equação diferencial de uma curva de perseguição — problema

  1. Francisco Monteiro diz:

    Tomei conhecimento deste problema como curiosidade nas olimpíadas da física portuguesas (já há 3/4 anos, ainda frequentava o ensino secundário).
    Realmente a resolução que apresenta é detalhada e completa, como os matemáticos gostam, mas o desafio (nas olimpiadas) era o problema ser feito por alunos do 12º ano, e sem equações diferenciais obviamente. Claro que o rigor matematico não era a prioridade, e era engraçado ver as várias sugestões de resolução.
    É engraçado anos depois ler este post e ver a resolução completa, obrigado.

    • Obrigado, eu, pela informação que aqui deixa. Gostaria de ver algumas abordagens mais elementares, quase de certeza muito mais engenhosas que esta.

      Existirá algum link para o enunciado original e alguma solução?

      Uma pequena nota: sou um eng. reformado com interesse na Matemática, mas dela só tenho conhecimentos gerais e um ou outro mais específico de nível um pouco mais elevado.

  2. Não entendi o passo em que “…que a derivada y’=f'(x)=dy/dx é y’=(y-ut)/x” Qual é o raciocínio dessa última afirmação?
    Obrigado!

  3. Reblogged this on Problemas e Teoremas and commented:

    Republico temporariamente este problema.

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