Conjectura ABC

Sobre a conjectura ABC divulgo o

Artigo de Miguel Abreu – Presidente da Sociedade Portuguesa de Matemática, publicado a 30 de Setembro de 2012, em “(Di)visões”, do Clube de Matemática:

«A conjectura ABC

Há precisamente 18 meses, no (Di)visões de Abril de 2011, escrevi sobre descobertas matemáticas, grandes matemáticos contemporâneos e os prémios que receberam. Disse na altura que todos os dias é “produzida” nova matemática e que “alguns destes desenvolvimentos acabam por estar na base de descobertas matemáticas mais significativas, que nos surpreendem, maravilham e abrem novas perspectivas.”
 
É possível que os 4 artigos científicos, totalizando cerca de 500 páginas e 4 anos de trabalho, que o matemático japonês Shinichi Mochizuki, do Instituto de Investigação em Ciências Matemáticas da Universidade de Kyoto, disponibilizou na sua página pessoal no passado dia 30 de Agosto, venham a constituir uma dessas descobertas matemáticas muito significativas. Nas palavras de Minhyong Kim, matemático da Universidade de Oxford citado num artigo do NY Times  de 17 de Setembro, Mochizuki criou um novo universo de objetos matemáticos que permite dizer coisas novas sobre o universo matemático usual. Uma dessas coisas é a primeira demonstração da famosa Conjectura ABC sobre propriedades dos fatores primos do produto abc, em que a, b e c são números inteiros primos entre si com a+b=c.
 
Não me é infelizmente possível dar aqui mais detalhes sobre esta conjectura. No entanto, para dar uma ideia da sua relevância, refiro que num artigo com o título “It’s as easy as ABC”, publicado em Novembro de 2002 nas Notices da American Mathematical Society, Andrew Granville e Thomas J. Tucker explicam como a Conjectura ABC, a ser verdadeira, implica vários dos resultados mais importantes na Teoria dos Números do século XX:

·       O Teorema de Roth que deu ao seu autor, Klaus Roth, a Medalha Fields em 1958.
·       O Teorema de Baker que deu ao seu autor, Alan Baker, a Medalha Fields em 1970.
·       O Teorema de Bombieri que deu ao seu autor, Enrico Bombieri, a Medalha Fields em 1974.
·       A Conjectura de Mordell provada por Gerd Faltings em 1983, tendo por isso recebido a Medalha Fields em 1986.
·       O último Teorema de Fermat provado por Andrew Wiles em 1995, tendo por isso recebido um prémio especial da União Matemática Internacional em 1998 (Wiles não era elegível para receber uma Medalha Fields por ter mais de 40 anos).

Shinichi Mochizuki já era considerado um matemático de primeiríssima classe, bastante conceituado e respeitado, pelo que estes 4 artigos estão a ser levados muito a sério pelos especialistas da área. No entanto, mesmo para estes, o novo universo matemático introduzido por Mochizuki vai levar alguns meses a ser assimilado, para só depois se poder garantir, ou não, que os seus argumentos estão corretos e a Conjectura ABC provada. Se isso acontecer, estaremos perante mais uma descoberta matemática muito significativa e com enorme potencial para desenvolvimentos futuros.»

Consideremos um número inteiro n e chamemos ao produto dos seus factores primos  distintos  radical de n, cuja notação mais habitual é  \mathrm{rad}\,(n),  isto é

\displaystyle\mathrm{rad}\,(n)=\underset{p\mid n}{\prod }p.

Fonte: Oesterlé, Nouvelles approches du théorème de Fermat. Séminaire Bourbaki, 30 (1987-1988), Exp. No. 694

Um dos enunciados da conjectura ABC (ou abc), formulada pelos matemáticos Joseph Oesterlé  e David Masser, em 1985,  é o seguinte, adaptado de The ABC-conjecture, Frits Beukers, ABC-day, Leiden:

Se

i) a,b,c forem três inteiros positivos primos entre si,

ii) a+b=c,

iii) \epsilon for um número positivo,

então, à parte um número finito de excepções, tem-se

c<\left(\mathrm{rad}\,(abc)\right)^{1+\epsilon }.\qquad (1)

Outra formulação mais explícita, adaptada da de Oesterlé e  de Enumerating ABC triples, Willem Jan Palenstijn:

Dado um número positivo \epsilon qualquer (por menor que seja), pode-se sempre encontrar um número positivo K_{\epsilon }  de modo que se tenha

c\leq K_{\epsilon }\left(\mathrm{rad}\,(abc)\right)^{1+\epsilon },\qquad (2)

para todos os inteiros positivos a,b,c primos entre si, com c=a+b. A constante K_{\epsilon } depende de  \epsilon mas não de a,b,c.

Nesta nota  de Oesterlé e  nesta de Masser poderá ler duas notas históricas sobre a origem da conjectura.

A página ABC conjecture do PolyMath reúne links para o(s) artigo(s)  de Shinichi Mochizuki referentes a esta conjectura, bem como posts, informações, comentários e notícias.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Conjectura ABC

  1. serolmar diz:

    Bolas, os artigos não são mesmo nada acessíveis.

    • Certo. Parece haver poucos matemáticos que possam analisar a demonstração da conjectura proposta por Mochizuki. Sobre a revisão destes artigos escreveu Terence Tao, em 15/09/2012: “It’s probably going to take a few months at least – there are hundreds of pages of rather deep material that need to be carefully looked through. I think people are trying to set up a workshop where Mochizuki can give a lecture series on his work, and then the reviewing process can really start moving.”
      Entretanto Mochisuki publicou alguns comentários motivados por e-mails que lhe foram enviados.

      PS. Tomei hoje conhecimento do artigo de Kevin Hartnett no The Boston Globe, 4 Nov 2012, An ABC proof too tough even for mathematicians que me parece ser o mais bem conseguido dos que apareceram em jornais e revistas.

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