Desta minha resposta no MSE.
1. Desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier de
Podemos usar a função com
e determinar o seu desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier
que é periódico e converge para em
.
Reparando que é par, basta determinar os coeficientes
porque
Para temos
E para obtemos
porque
Assim
Como obtemos
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2. Desenvolvimento em série de (por Eric Rowland; disponível online há alguns anos atrás)
A partir de
fazendo a substituição , obtém-se a série
cujo raio de convergência é igual a . Tomando a parte imaginária de ambos os membros, o 2.º transforma-se em
e o 1.º,
Como
é válido o seguinte desenvolvimento em série
Integrando , obtém-se
Fazendo , obtemos a relação entre
e
E para , como
deduz-se
Resolvendo em ordem a
prova-se assim que
Nota: este método gera todos os valores de , integrando repetidamente
. Infelizmente não resulta para
.
Excelentes métodos para achar zeta(2). Muito obrigado por compartilhar estes métodos conosco.
Obrigado pelo seu apoio.