Número de dígitos das potências inteiras de 2

Adaptado da minha resposta a esta questão de Raheel Khan, no MSE.

Se se resolver em ordem a x a equação

2^{n}=10^{x}

obtém-se o expoente de 10

x=\dfrac{n\ln 2}{\ln 10}\approx 0,30103n

Este número nunca é inteiro, porque 2^{n} apenas pode terminar em 2,4,6 or 8. Por isso, como comentado por Random832, o número de dígitos na base decimal é  igual a

\left\lfloor 1+\dfrac{n\ln 2}{\ln 10}\right\rfloor =1+\left\lfloor n\,\log  _{10}2\right\rfloor,

que é a sucessão A034887 de OEIS (comentário de Gost).

Na base binária, visto que

2^{n}=1\cdot 2^{n}+0\cdot 2^{n-1}+\cdots +0\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+0\cdot  2^{0},

são n+1 bits

\left( 2^{n}\right) _{2}=\underset{n+1\text{ bits}}{\underbrace{1\overset{n\text{ 0's}}{\overbrace{0\ldots 000}}}}.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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