Distância entre um ponto sobre o eixo de um parabolóide de revolução e a sua superfície — método dos multiplicadores de Lagrange

Embora a natureza geométrica do problema que apareceu recentemente nesta questão de james, no MSE, permita uma resolução mais simples, apresento a seguir uma baseada no método dos multiplicadores de Lagrange.

Problema: Determinar a distância entre o ponto (0,0,1) e o parabolóide

z=\dfrac{3}{2}(x^2+y^2)\qquad (0)

Resolução: É necessário determinar o mínimo da função distância

\sqrt{d(x,y,z)}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}}\qquad (1\text{a})

sujeita à restrição introduzida pela equação (0)

g(x,y,z)=z-\dfrac{3}{2}\left( x^{2}+y^{2}\right) =0.\qquad (2)

Mas como \sqrt{d(x,y,z)} aumenta com d(x,y,z) pode simplificar-se o cálculo se determinarmos o mínimo de

d(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\qquad (1\text{b})

sujeito à mesma restrição (2). A função lagrangeana é então definida por

\begin{aligned}L\left( x,y,z,\lambda \right)&=d(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)\\L\left(x,y,z,\lambda\right)&=x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}+\lambda \left( z-\dfrac{3}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right),\qquad (3)\end{aligned}

em que \lambda é o multiplicador de Lagrange. Por este método é necessário resolver o seguinte sistema

\left\{\dfrac{\partial L}{\partial x}=0,\quad\dfrac{\partial L}{\partial y}=0,\quad\dfrac{\partial L}{\partial z}=0,\quad\dfrac{\partial L}{\partial \lambda}=0,\right.\qquad (4)

o que resulta em

\left\{\begin{array}{c}2x+3\lambda x=0\\2y+3\lambda y=0\\2z-2-\lambda =0\\-z+\dfrac{3}{2}\left( x^{2}+y^{2}\right) =0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x=0\vee 2+3\lambda =0\\y=0\vee 2+3\lambda =0\\2z-2-\lambda =0\\-z+\dfrac{3}{2}\left( x^{2}+y^{2}\right) =0\end{array}\right.

ou

\left\{\begin{array}{c}x=0\\y=0\\\lambda =2\\z=0\end{array}\right.\vee\left\{\begin{array}{c}\lambda =-2/3\\z=2/3\\x^{2}+y^{2}=4/9\end{array}  \right.\qquad (5)

Para x=y=x=0 obtém-se \sqrt{d(0,0,0)}=1 e para x^2+y^2=4/9,z=2/3, a distância nas condições indicadas

\underset{g(x,y,z)=0}\min\sqrt{d(x,y,z)}=\sqrt{\dfrac{4}{9}+(\dfrac{2}{3}-1)^{2}}=\dfrac{1}{3}\sqrt{5}.\qquad (6)

Ocorre na intersecção da superfície z=\dfrac{3}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) com o cilindro vertical x^{2}+y^{2}=\dfrac{4}{9} ou de forma equivalente com o plano horizontal z=\dfrac{2}{3}.

Plano z=\dfrac{2}{3} (azul) e parabolóide z=\dfrac{3}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)

Nota: Como a solução depende apenas da soma r^{2}=x^{2}+y^{2} poderíamos simplesmente ter calculado o valor r_{\text{min}} em que ocorre o mínimo de

d(r)=r^{2}+(\dfrac{3}{2}r^{2}-1)^{2}\qquad (7)

e, de seguida, \sqrt{d(r_{\text{min}})}.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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Uma resposta a Distância entre um ponto sobre o eixo de um parabolóide de revolução e a sua superfície — método dos multiplicadores de Lagrange

  1. Tem um equivoco com relação a dL/dlambda, o correto seria g(x,y,z)=0
    Gostei muito da sua publicação, parabéns….
    professorleano.blogspot.com.br

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