Um desenvolvimento de uma função em série assimptótica — Uma das respostas no MSE

Obtive uma resposta à minha questão, no MSE, suficientemente simples para a perceber, questão essa relativa ao desenvolvimento de uma função na série que aparece em [1]. Divulguei-a nesta entrada, da qual transcrevo o essencial:

Em [1] Apéry, R., Irrationalité de \zeta 2 et \zeta 3, Société Mathématique de France, Astérisque 61 (1979), existe um desenvolvimento em série divergente de uma função que gostaria de perceber.

Eis a tradução da parte relevante:

(…) dada uma sucessão de números reais a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}, uma função analítica f\left( x\right) no que diz respeito à variável \frac{1}{x}, tendendo para 0 com \frac{1}{x} admite um desenvolvimento (único) da forma

f\left( x\right)\equiv\displaystyle\sum_{k\geq1}\dfrac{c_{k}}{\left( x+a_{1}\right) \left( x+a_{2}\right) \ldots\left( x+a_{k}\right) }.\qquad (\mathrm{A})

Questões:

  1. A série (\mathrm{A}) é efectivamente divergente?
  2. Qual é o teorema que enuncia ou do qual se deduz o desenvolvimento em série (\mathrm{A})?
  3. Poderiam fornecer uma referência?

A resposta que aceitei foi a de robjohn, que escreveu no original:

“Writing g_1(x)=f(1/x) gives

g_1(x)\equiv\displaystyle\sum_{k\ge1}\dfrac{c_kx^k}{(1+a_1x)(1+a_2x)\dots(1+a_kx)}\qquad (1)

which vanishes at x=0.

Recursively define

g_{n+1}(x)=\dfrac{(1+a_nx)g_n(x)}{x}-c_n\qquad (2)

where

c_n=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{g_n(x)}{x}\qquad (3)

Then

g_n(x)\displaystyle\equiv\sum_{k\ge n}\dfrac{c_kx^{k-n+1}}{(1+a_nx)(1+a_{n+1}x)\dots(1+a_kx)}\qquad (4)

is another series like (1) (which vanishes at x=0).

The series in (1) may or may not converge, as with the Euler-Maclaurin Sum Series. As with most asymptotic series, we are only interested in the first several terms; the remainder (not the remaining terms) can be bounded by something smaller than the preceding terms. Therefore, convergence is not an issue.”

[1] APÉRY, R., Irrationalité de \zeta 2 et \zeta 3, Société Mathématique de France, Astérisque 61 (1979)

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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