Um integral de linha — trabalho realizado por uma força

Tradução da minha resposta à questão Line Integral, Work in physics de nasanerd, no MSE, sobre o cálculo de um integral de linha que representa o trabalho efectuado pela força \overrightarrow{F}= y\overrightarrow{i}+2x\overrightarrow{j} ao longo da recta y=1 desde a origem até ao ponto (1,1).

Numa notação diferente [à da pergunta] (ver em baixo) e usando x como parâmetro.

O trabalho W realizado pela força \overrightarrow{F}= y\overrightarrow{i}+2x\overrightarrow{j} que actua na partícula, quando esta se desloca de P(0,0) para Q(1,1) ao longo da recta \gamma :y=x (ver figura), é expresso pelo integral

\begin{aligned}W &=\displaystyle\int_{\gamma }\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{dr}\qquad \gamma :y=x,\text{ de }P(0,0)\text{ para}\;Q(1,1) \\&=\displaystyle\int_{\gamma } \left( y\overrightarrow{i}+2x\overrightarrow{j}\right) \cdot \left( dx\overrightarrow{i}+dy\overrightarrow{j}\right)\\&=\displaystyle\int_{\gamma }y\text{ }dx+2x\text{ }dy\qquad y=x,\; \; dy=dx\\&=\displaystyle\int_{0}^{1}3x\text{ }dx \\&=3\displaystyle\int_{0}^{1}x\text{ }dx=3\times \left. \dfrac{x^{2}}{2}\right\vert_{0}^{1}=3\times\dfrac{1}{2}=1.5.\end{aligned}

Notação:

1. \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} representa o produto interno dos vectores \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}. Foi utilizado atrás em

    \left( y\overrightarrow{i}+2x\overrightarrow{j}\right)\cdot\left(dx\overrightarrow{i}+dy\overrightarrow{j}\right)=y\;dx+2x\;dy.

2. \overrightarrow{i} e \overrightarrow{j} são vectores de comprimento unitário, respectivamente,  na direcção e sentido dos semi-eixos positivos x e y.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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