Desigualdade envolvendo a função exponencial

Nesta questão, no MSE,  sssuuuccc pergunta como se pode demonstrar a desigualdade

e^{-2x}\leq 1-x\qquad 0\leq x\leq 1/2

Na minha resposta considerei a seguinte majoração, válida no intervalo considerado

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{x^{n-1}}{n}\leq\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n\left(2^{n-1}\right)}=\ln 4=2\ln 2\leq 2

pelo que

-\ln\left( 1-x\right)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{x^{n}}{n}\leq  2x.

Daqui decorre imediatamente a desigualdade que se pretende demonstrar.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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4 respostas a Desigualdade envolvendo a função exponencial

  1. Muito interessante esta forma de provar uma desigualdade usando somatóriios. Gosto muito de somatórios e desigualdades e este exercício acrescentou muitas ideias inovadoras. Outro procedimento para provar esta desigualdade é mostrar que a função
    f(x)=x+e^{-2x}-1 para x\in[0,1/2] é menor ou igual a zero neste intervalo.

  2. Como prova da vitalidade do Mathematics Stack Exchange aqui deixo a revisão desta demonstração feita hoje por um anónimo (e aprovada por mim), tornando-a mais completa e explicitando melhor os passos:

    “By Taylor expansion, we have

    \ln\dfrac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n},

    whose convergence radius is R=1.

    The equation above can also be achieved by integrate both sides of

    \dfrac{1}{1-x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} {x^n}.

    For 0\leq x\leq 1/2 we have the following upper bound

    \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{x^{n}}{n}\leq\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{ n\left( 2^{n}\right) }=\ln 2\leq 2.

    Therefore

    -\ln \left( 1-x\right) =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{x^{n}}{n}\leq 2x.

    The given inequality follows.”

  3. israel diz:

    Fazendo uma substituição de variável:
    1-x=y
    Reescrevendo a desigualdade como:
    e^(2y-2) >=y
    e^(2y)>=ye^2

    Tomando e^2=m, temos uma desigualdade do tipo

    m^y>=my

    Por comparação, considerando a função exponencial e a função do primeiro grau, é trivial observar que a taxa de crescimento da primeira é maior(dado que o valor de “m” é notavelmente maior do que 1).

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