Exemplo literal de resolução de uma equação cúbica

Em Rearranging a formula, no MSE,  pglove pretende obter b em função de a, a partir da equação

a+2b^{3}-3b^{2}=0\qquad (0)

Tradução da minha resposta

A sua equação é uma equação cúbica em b que se pode resolver algebricamente pela fórmula cúbica de Cardano (veja, por exemplo,  esta entrada de PlanetMath). Podemos escrevê-la na forma

b^{3}-\dfrac{3}{2}b^{2}+\dfrac{a}{2}=0.\qquad (1)

1. Esta equação tem em geral 3 raízes complexas. Em primeiro lugar fazemos a mudança de variáveis

b=t+\dfrac{1}{2}.\qquad (1a)

Dado que

\left( t+\dfrac{1}{2}\right) ^{3}-\dfrac{3}{2}\left( t+\dfrac{1}{2}\right) ^{2}+\dfrac{a}{2}=t^{3}-\dfrac{3}{4}t-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}a,\qquad (2)

obtemos a equação cúbica reduzida

t^{3}-\dfrac{3}{4}t-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}a=0.\qquad (3)

2. O método de Cardano de resolução de (3) consiste em escrever a variável t  como uma soma de duas variáveis

t=u+v.\qquad (3a)

Como

\begin{aligned}&\left( u+v\right) ^{3}-\dfrac{3}{4}\left( u+v\right) -\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}a\\&=\left( u^{3}+v^{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}a\right) +\left( 3uv-\dfrac{3}{4}\right)\left( u+v\right) =0\end{aligned}\qquad (4)

qualquer solução do sistema seguinte é também uma solução da equação cúbica reduzida (3).

\left\{\begin{array}{c}u^{3}+v^{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}a=0\\  3uv-\dfrac{3}{4}=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u^{3}+v^{3}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}a\\u^{3}v^{3}=\dfrac{1}{64}\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u^{3}+\dfrac{1}{64u^{3}}-\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}a\right) =0\\v^{3}=\dfrac{1}{64u^{3}}\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}\left( u^{3}\right) ^{2}-\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}a\right) u^{3}+\dfrac{1}{64}=0\\v^{3}=\dfrac{1}{64u^{3}}.\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u^{3}+v^{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}a=0\\3uv-\dfrac{3}{4}=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u^{3}+v^{3}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}a\\u^{3}v^{3}=\dfrac{1}{64}\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u^{3}+\dfrac{1}{64u^{3}}-\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}a\right) =0\\v^{3}=\dfrac{1}{64u^{3}}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}\left( u^{3}\right) ^{2}-\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}a\right)u^{3}+\dfrac{1}{64}=0\\v^{3}=\dfrac{1}{64u^{3}}.\end{array}\right.\qquad (5)

3. Fazendo

Y=u^{3},\qquad (5a)

obtemos a seguinte equação quadrática

Y^{2}-\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}a\right) Y+\dfrac{1}{64}=0,\qquad (6)

cujas raízes são

Y_+=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{4}\sqrt{-a+a^{2}}\qquad (7a)

Y_-=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{4}\sqrt{-a+a^{2}}\qquad (7b)

4. Assim, sem perda de generalidade, obtêm-se as seguintes raízes do sistema (5)

u=Y_{+}^{1/3},\qquad v=\dfrac{1}{4Y_{+}^{1/3}}=Y_{-}^{1/3}.\qquad (8)

5. Combinando os resultados anteriores obtemos a seguinte fórmula:

\begin{aligned}b&=t+\frac{1}{2}=u+v+\frac{1}{2}\\&=\left( \frac{1}{8}-\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}\sqrt{a^{2}-a}\right)^{1/3}+\left( \frac{1}{8}-\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}\sqrt{a^{2}-a}\right)^{1/3}+\frac{1}{2}.\end{aligned}\qquad (9)

6. Os três valores complexos (ou reais) de  (9) dão todas as soluções de (0).

– : – : –

Poderá encontrar em Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica)  uma explicação mais pormenorizada e exemplos numéricos.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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