Substituição de Euler para primitivar expressões irracionais quadráticas II

Retomo o tópico da substituição de Euler exemplificado nesta entrada.

Na questão How to find out what changes applied to integral?, no MSE, Dracontis pretende saber como se pode calcular o seguinte integral

 \displaystyle\int{\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+2}dx}

que, em Maple, se transforma neste:

\displaystyle\int\dfrac{1}{2} + \dfrac{1+3u^2+4u^3}{-2u^2+2u^4-8u^3}du

Adapto da minha resposta o seguinte cálculo.

1. Podemos usar a substituição de Euler t=\sqrt{x^{2}+1}-x para obter uma fracção racional em termos de t

\begin{aligned}I=\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+2}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{1+2t^{2}+t^{4}}{t^{2}\left( -1+t^{2}-4t\right) }\mathrm{d}t.  \end{aligned}

2. Dado que a função integranda é uma fracção racional, podemos decompô-la em fracções parciais e de seguida integrar cada uma dessas fracções

\dfrac{1+2t^{2}+t^{4}}{t^{2}\left( -1+t^{2}-4t\right) }=1-\dfrac{1}{t^{2}}+  \dfrac{4}{t}+\dfrac{20}{t^{2}-4t-1}.

Cálculo pormenorizado. De t=\sqrt{x^{2}+1}-x, obtemos x=\dfrac{1-t^{2}}{2t} e \dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{t^{2}+1}{2t^{2}}. Assim temos

\begin{aligned}I&=\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+2}\mathrm{d}x=\displaystyle\int\dfrac{t+\dfrac{1-t^{2}}{2t}}{\dfrac{1-t^{2}}{2t}+2}\left( -\dfrac{t^{2}+1}{2t^{2}}\right) \mathrm{d}t\\&=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{1+2t^{2}+t^{4}}{t^{2}\left( -1+t^{2}-4t\right) }\mathrm{d}t.\end{aligned}

Decompondo nas fracções parciais indicadas acima, obtemos

\begin{aligned}2I&=\displaystyle\int 1-\dfrac{1}{t^{2}}+\dfrac{4}{t}+\dfrac{20}{t^{2}-4t-1}\mathrm{d}t\\&=\displaystyle\int 1\mathrm{d}t-\displaystyle\int\dfrac{1}{t^{2}}\mathrm{d}t+4\displaystyle\int\frac{1}{t}\mathrm{d}t+20\displaystyle\int\dfrac{1}{t^{2}-4t-1}\mathrm{d}t\\&=t+\dfrac{1}{t}+4\ln\left\vert t\right\vert -2\sqrt{5}\ln \dfrac{\sqrt{5}t-2\sqrt{5}+5}{5-\sqrt{5}t+2\sqrt{5}}+C\\&=\sqrt{x^{2}+1}-x+\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}-x}+4\ln\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right) \\&-2\sqrt{5}\ln\dfrac{\sqrt{5}\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right) -2\sqrt{5}+5}{5-\sqrt{5}\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right) +2\sqrt{5}}+C.  \end{aligned}

Logo o integral dado é igual a

\begin{aligned}I&=\dfrac{1}{2}\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right) +\dfrac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}-x}+2\ln\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right)\\&-\sqrt{5}\ln\dfrac{\sqrt{5}\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right) -2\sqrt{5}+5}{5-\sqrt{5}\left( \sqrt{x^{2}+1}-x\right) +2\sqrt{5}}+C.  \end{aligned}

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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4 respostas a Substituição de Euler para primitivar expressões irracionais quadráticas II

  1. Jorge ernesto sandramo diz:

    Gostei do topico continuem assim

  2. Gil Cleber diz:

    Prezado Américo, o exemplo dado por você aqui poderia ser feito com mais facilidade pelo método de substituições trigonométricas, não? Eu acho as substituições de Euler muito complicadas, valendo apenas para integrandos mais complexos. Eu mesmo não sei usá-las bem, e lhe peço por gentileza não só uma explanação mais detalhada, como também que insira exemplos da terceira substituição, em que a equação sob o radical tem raízes reais “a” e “b”.

    • Caro Gil,

      Na minha opinião, quando existem boas substituições trigonométricas ou hiperbólicas, a integração é quase sempre mais rápida; o difícil está em descobri-las. Além disso, se após a substituição de Euler obtivermos uma fracção racional cujo denominador não seja fácil ou seja mesmo impossível determinar as raízes, o método torna-se impraticável. A maior utilidade da substituição de Euler estará nos casos intermédios, em que a sua aplicação conduz a uma fracção racional que seja fácil de desenvolver em fracções parciais. Mas há casos em que a substituição de Euler resulta simples, como o da minha resposta http://math.stackexchange.com/a/129824/752.

      No caso deste post “faltou” detalhar a integração da última fracção parcial 1/(t^2-4t-1). Quanto à 2.ª substituição de Euler que aparece referenciada no link http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Euler_substitutions, julgo tê-la já utilizado pelo menos uma vez, mas agora não a encontro nem no blog nem nas minhas respostas no MSE (Mathematics Stack Exchange).

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