Equação cúbica com coeficientes reais dada uma das raízes

Nesta questão do MSE mcb pede basicamente como determinar as raízes da equação cúbica

z^{3}-(b+6)z^{2}+8b^{2}z-7+b^{2}=0

em que b\in\mathbb{R}, sabendo que z_{1}=1+i é uma das raízes.

Tradução da minha resposta: Considere o polinómio cúbico

P(z)=z^{3}+Az^{2}+Bz+C\qquad (1),

em que os coeficientes A,B e C são números reais. Se designarmos as suas raízes por z_{1},z_{2} e z_{3}, então o polinómio decompõe-se nos factores

\begin{aligned}P(z)&=\left( z-z_{1}\right) \left( z-z_{2}\right) (z-z_{3})\\  &=z^{3}-\left( z_{1}+z_{3}+z_{2}\right) z^{2}+\left(z_{1}z_{2}+z_{2}z_{3}+z_{1}z_{3}\right) z-z_{1}z_{2}z_{3}.\end{aligned}\qquad (2)

O termo constante é

P(0)=C=-z_{1}z_{2}z_{3}.

No presente caso A=-(b+6), B=8b^{2} e C=-7+b^{2}. Dado que z_{1}=1+i é uma solução, então z_{2}=\overline{z}_{1}=\overline{1+i}=1-i é outra, como concluíu. Por isso tem-se z_{1}z_{2}=\left( 1+i\right) \left( 1-i\right)=2 e

\begin{aligned}-7+b^{2}=-2z_{3}\end{aligned},\qquad (3)

cuja solução é

z_{3}=\dfrac{7-b^{2}}{2}.\qquad (4)

Como P(z_1)=P(z_2)=0, tem-se

\begin{aligned}&\left( 1+i\right) ^{3}-(b+6)\left( 1+i\right) ^{2}+8b^{2}\left( 1+i\right) -7+b^{2}\\&=-9+9b^{2}+i\left( -10-2b+8b^{2}\right)=0,\end{aligned}\qquad (5)

\begin{aligned}&\left( 1-i\right) ^{3}-(b+6)\left( 1-i\right) ^{2}+8b^{2}\left( 1-i\right)  -7+b^{2}\\&=-9+9b^{2}+i\left( 10+2b-8b^{2}\right)=0,\end{aligned}\qquad (6)

o que significa que b verifica o sistema

\begin{aligned}\left\{\begin{array}{c}-9+9b^{2}=0\\10+2b-8b^{2}=0.\end{array}\right.\end{aligned}\qquad (7)

A solução de (7) é b=-1. Usando (4) determina-se

z_{3}=3.\qquad (8)

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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