Exercício sobre convergência de um integral impróprio paramétrico

Exercício ([1, exercício 4, p. 648]) Determine a região do plano xy onde o integral a seguir indicado é convergente

I=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\frac{1}{t^{x}\left( 1+t^{y}\right) }\;\mathrm{d}t

Resolução: decomponha-se o integral misto na soma dos dois integrais seguintes, respectivamente, de 2.ªe 1.ª espécie

I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{t^{x}\left( 1+t^{y}\right) }\;\mathrm{d}t+\displaystyle\int_{1}^{\infty }\dfrac{1}{t^{x}\left( 1+t^{y}\right) }\;\mathrm{d}t=I_{1}+I_{2}

em que

\begin{aligned}I_{1}&=&\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{t^{x}\left( 1+t^{y}\right) }\;\mathrm{d}t\\I_{2} &=&\displaystyle\int_{1}^{\infty }\dfrac{1}{t^{x}\left( 1+t^{y}\right) }\;\mathrm{d}t\end{aligned}

Seja f(t)=1/(t^{x}\left( 1+t^{y}\right) ) e escolha-se a função g_{1}(t)=1/t^{x}. Aplique-se o critério de convergência do limite. Como

\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\dfrac{f(t)}{g_{1}(t)}=\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\dfrac{1}{1+t^{y}}=1\qquad (y<0)

Ora \displaystyle\int_{0}^{1}t^{-x}\;\mathrm{d}t é convergente, se x<1, donde o integral I_{1} converge na região R_{1}=\left\{ \left( x,y\right) :x<1\wedge y>0\right\}. Seja agora g_{2}(t)=1/t^{x+y}. Então, aplicando novamente o critério do limite

\lim_{t\rightarrow \infty }\dfrac{f(t)}{g_{2}(t)}=\lim_{t\rightarrow \infty }\dfrac{t^{x+y}}{t^{x}\left( 1+t^{y}\right) }=\lim_{t\rightarrow \infty }\dfrac{t^{y}}{1+t^{y}}=1\qquad (y>0)

como, para x+y>1 o integral \displaystyle\int_{1}^{\infty }t^{-\left( x+y\right) }\;\mathrm{d}t é convergente, conclui-se que I_{2} converge na região R_{2}=\left\{ \left( x,y\right) :x+y>1\right\}. Resulta por fim que  I converge em

 R=R_{1}\cap R_{2}=\left\{ \left( x,y\right) :x<1\wedge y>1-x\right\}

ou seja, à esquerda da recta x=1 e acima da recta y=1-x.

[1] TAYLOR, Angus, Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company, Waltham, Massachusetts, 1955.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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