Mathematics Stack Exchange — Duas perguntas e respostas sobre a função gama

[Original in English]

Esta é a tradução portuguesa do meu post Two Mathematics Stack Exchange Questions and Answers on the Gamma Function

Questão de pomme. Definição da função gama

“Sei que a função gama com o argumento (-\dfrac{1}{ 2}) — por outras palavras \Gamma(-\dfrac{1}{2}) é igual a -2\pi^{1/2}. Porém, sendo a definição de

\Gamma(k)=\displaystyle\int_0^\infty t^{k-1}e^{-t}dt

como é que \Gamma(-\frac{1}{2}) se pode obter desta definição? WolframAlpha diz que não converge…”

Minha resposta

A sua dúvida faz sentido se para k=-1/2 tentar usar a definição da função gama pelo  integral que escreveu, porque ele diverge em k=-1/2 como diz. Vou tentar esclarecer como segue. Esta representação integral da função gama (uso x em vez de k)

\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt\qquad(0)

é válida nos reais, se e só se,  x>0. Usando a integração por partes podemos mostrar que

\Gamma (x+1)=x\Gamma (x).\qquad(1)

Para x<0 podemos definir \Gamma (x) pata todos os valores negativos de x excepto -1,-2,-3,\cdots não pelo integral (0), mas antes através  da equação funcional (1), que é da forma

\Gamma (x)=\dfrac{\Gamma(x+1)}{x}.\qquad(2)

Então x+1>0 [e] \Gamma (x+1) é convergente. No seu exemplo x=-1/2, logo x+1=1/2 e \Gamma (1+x)=\Gamma (1/2). Assim obtemos

\Gamma (-1/2)=\dfrac{\Gamma(1/2)}{-1/2}=-2\Gamma (1/2)=-2\sqrt{\pi },\qquad(3)

em que usamos o valor conhecido do integral \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi }, que pode calcular-se, por exemplo a partir da igualdade

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy=\dfrac{\pi }{4}=\left( \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right) ^{2}.\qquad(4)

Analogamente, para x=-3/2, de (2) determinamos que \Gamma (-3/2)=-\frac{2}{3}\Gamma (-1/2), usiando duas vezes (3). A este processo chama-se prolongamento analítico, cuja verdadeira compreensão exige o conhecimento de análise complexa.

\text{Plot of }y=\Gamma(x)\quad -5<x<5

Questão de Amitabh Udayiman. Convergência deste integral

“O meu livro escolar de estatística indicada pela minha escola afirma que o integral

\Gamma(n)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx

é convergente para n>0, não o demonstrando. Por isso alguém me poderia ajudar a demonstrá-lot? Mais uma vez obrigado!”

Minha resposta. Parto do princípio que n é um número real. Decomponha o integral impróprio da função gama

\Gamma(n)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx\qquad(0)

em I_1+I_2, em que

I_1=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x}x^{n-1}dx\qquad(1)

e

I_2=\displaystyle\int_{1}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx\qquad(2)

1. Para demonstrar que o integral I_2 é sempre convergente use o facto de que qualquer que seja o número real \alpha o integral

\int_{1}^{\infty }e^{-x}x^{\alpha }dx\qquad(3)

é convergente, pelo critério do limite

\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{e^{-x}x^{\alpha }}{x^{-2}}=0\qquad(4)

comparando-o com o integral convergente

\displaystyle\int_{1}^{\infty }\dfrac{dx}{x^{2}}.\qquad(5)

2. Quanto a I_1 considere dois casos. (a) Se n\geq 1, observe que \lim_{x\rightarrow 0}e^{-x}x^{n-1}=0, logo I_1 é um integral próprio. (b) Se 0<n<1, a função integranda e^{-x}x^{n-1} comporta-se como x^{n-1} na vizinhança de n=0, porque e^{-x}\rightarrow 1 quando x\rightarrow 0. Visto que

\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{x^{1-n}}\qquad(6)

é convergente, se e só se, 1-n<1, isto é n>0, também o é I_1, o que faz com que \Gamma(n)=I_1+I_2 seja convergente para n>0.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Mathematics Stack Exchange — Duas perguntas e respostas sobre a função gama

  1. antonio da costa serafim diz:

    Gostei, mandem seus resumos para a gente pensar um pouco!

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