Os números da forma n^4 + 4 são compostos

Chan colocou no Mathematics Stack Exchange a questão de justificar porque é que os números da forma n^4+4 eram compostos.

Tradução da minha resposta:

Pode-se factorizar algebricamente n^{4}+4, determinando as quatro raízes de n^{4}+4=0.

Dado que n^{4}+4=0\Leftrightarrow n^{4}=4e^{i\pi }, tem-se

\begin{aligned}n&=4^{1/4}e^{i\left( \dfrac{\pi +2k\pi }{4}\right) }\quad k=0,1,2,3\\  &\\n&=\sqrt{2}e^{i\left( \dfrac{\pi }{4}\right) }=1+i\quad \left( k=0\right)\\n&=\sqrt{2}e^{i\left( \dfrac{3\pi }{4}\right) }=-1+i\quad \left( k=1\right)\\n&=\sqrt{2}e^{i\left( \dfrac{5\pi }{4}\right) }=-1-i\quad \left( k=2\right)\\n&=\sqrt{2}e^{i\left( \dfrac{7\pi }{4}\right) }=1-i\quad \left( k=3\right).\end{aligned}

E combinando os factores complexos conjugados, obtemos

\begin{aligned}n^{4}+4&=\left( n-1-i\right) \left( n+1-i\right) \left( n+1+i\right)  \left( n-1+i\right)\\&=\left( \left( n+1-i\right) \left( n+1+i\right) \right) \left( \left(  n-1-i\right)\left( n-1+i\right) \right)\\&=\left( n^{2}+2n+2\right) \left( n^{2}-2n+2\right)  \end{aligned}

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Os números da forma n^4 + 4 são compostos

  1. Interessante essa forma de provar esta relação usando números complexos. Um outro modo é através da fatoração direta. Veja:

    n^4+4=(n^4+4n^2+4)-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2=(n^2+2-2n^2)(n^2+2+2n^2)

    • Obrigado pela sua avaliação. O seu método, que dispensa o conhecimento dos números números complexos, bastanto somar e subtrair 4n^2 e continuar com a decomposição em factores de uma diferença de quadrados, foi, com mais ou menos detalhe, o sugerido nas restantes respostas à questão. Além disso é mais elementar. O “meu” é uma aplicação da teoria básica sobre polinómios e de raízes complexas.

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