Substituição de Euler para primitivar expressões irracionais quadráticas

Nesta minha resposta, no Mathematics Stack Exchange sugeri o seguinte método de substituição para calcular o seguinte integral, nesta questão de Dave

\displaystyle\int\dfrac{dx}{x\sqrt{1+x+x^2}}

Dado que o integrando é uma função irracional quadrática do tipo R(x,\sqrt{1+x+x^{2}}), pode usar-se a substituição de Euler \sqrt{1+x+x^{2}}=x+t. Obtém-se

\begin{aligned}\displaystyle\int\dfrac{dx}{x\sqrt{1+x+x^{2}}}&=\displaystyle\int \dfrac{2}{t^{2}-1}\,dt\\&=-2\text{arctanh }t+C\\&=-2\text{arctanh}\left( \sqrt{1+x+x^{2}}-x\right)+C.\end{aligned}

Outro exemplo: Substituição de Euler para primitivar expressões irracionais quadráticas II.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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