Transformação de séries em fracções contínuas

Neste post vou apresentar um exemplo: o desta questão de James, no Mathematics Stack Exchange, em que a série a transformar é

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{2^{2^{i}}}

Tradução da minha resposta

Podemos aplicar a seguinte fórmula de transformação geral de uma série numa fracção contínua, que se pode justificar (ver Notas 1 e 2) comparando as relações de recorrência fundamentais de uma fracção contínua com a da soma parcial da série:

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=\dfrac{u_{1}}{v_{1}+\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathbb{K}}}\left(\left( -\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}v_{n}^{2}\right) /\left( v_{n+1}+\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}v_{n}\right)\right) }.

Neste caso tem-se u_{n}=1, v_{n}=2^{\left( 2^{n}\right) }:

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{v_{n}}=\dfrac{1}{4+\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathbb{K}}}\left( \left( -v_{n}^{2}\right) /\left( v_{n+1}+v_{n}\right)\right) }

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{2^{2^{n}}}=\dfrac{1}{4+\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathbb{K}}}\left(\left( -2^{2^{n+1}}\right)/\left( 2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}\right)\right) }

=\dfrac{1}{4+}\dfrac{-16}{20+}\cdots \dfrac{-2^{2^{n+1}}}{2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}+}{\cdots }\dfrac{-2^{2^{N}}}{2^{2^{N}}+2^{2^{N-1}}}.

A transformação da série em fracção contínua é então

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{2^{n}}}=\dfrac{1}{4+\underset{n=1}{\overset{\infty}{\mathbb{K}}}\left(\left( -2^{2^{n+1}}\right)/\left( 2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}\right) \right) }.

Nota 1: As somas parciais

s_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{u_{k}}{v_{k}}=\dfrac{A_{n}}{B_{n}}

verificam, para n\geq 2,

s_{n}=s_{n-1}+\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=\dfrac{A_{n-1}}{B_{n-1}}+\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=\dfrac{v_{n}A_{n-1}+u_{n}B_{n-1}}{v^{n}B_{n-1}}=\dfrac{A_{n}}{B_{n}}

o que significa que

A_{n}=v_{n}\;A_{n-1}+u_{n}\;B_{n-1}

B_{n}=v_{n}\;B_{n-1}.

A fracção contínua truncada

\displaystyle\underset{k=1}{\overset{n}{\mathbb{K}}}\left( u_{k}/v_{k}\right) =\dfrac{A_{n}}{B_{n}}

verifica

A_{n}=b_{n}\;A_{n-1}+a_{n}\;A_{n-2}\qquad A_{0}=0

B_{n}=b_{n}\;B_{n-1}+a_{n}\;B_{n-2}\qquad B_{0}=1.

Nota 2: Cálculo algébrico pormenorizado. Para n=1 tem-se

\dfrac{u_{1}}{v_{1}}=\dfrac{a_{1}}{b_{1}}=\dfrac{A_{1}}{B_{1}}\qquad u_{1}=a_{1}\qquad v_{1}=b_{1}.

Substituindo n por n-1  na primeira recorrência obtem-se para n\geq 3

A_{n-1}=v_{n-1}\;A_{n-2}+u_{n-1}\;B_{n-2}

B_{n-1}=v_{n-1}\;B_{n-2}

o que por sua vez dá:

A_{n}=v_{n}\;A_{n-1}+u_{n}\;B_{n-1}

=v_{n}\;\left( v_{n-1}\;A_{n-2}+u_{n-1}\;B_{n-2}\right) +u_{n}\;\left( v_{n-1}\;B_{n-2}\right)

=v_{n}\;v_{n-1}\;A_{n-2}+\left( v_{n}\;u_{n-1}+u_{n}\;v_{n-1}\right)\;B_{n-2}

e

B_{n}=v_{n}\;B_{n-1}=v_{n}\;v_{n-1}\;B_{n-2}.

A mesma substituição na segunda recorrência conduz a (para n\geq 3):

A_{n-1}=b_{n-1}\;A_{n-2}+a_{n-1}\;A_{n-3}

B_{n-1}=b_{n-1}\;B_{n-2}+a_{n-1}\;B_{n-3}.

Combinando tudo obtém-se:

A_{n}=b_{n}\;A_{n-1}+a_{n}\;A_{n-2}

=b_{n}\;\left( v_{n-1}\;A_{n-2}+u_{n-1}\;B_{n-2}\right) +a_{n}\;A_{n-2}

=\left( b_{n}\;v_{n-1}+a_{n}\;\right) \;A_{n-2}+b_{n}\;u_{n-1}\;B_{n-2}

e

B_{n}=b_{n}\;B_{n-1}+a_{n}\;B_{n-2}

=b_{n}\;\left( v_{n-1}\;B_{n-2}\right) +a_{n}\;B_{n-2}

=\left( b_{n}\;v_{n-1}+a_{n}\right) \;B_{n-2}

Comparando as duas fórmulas de A_{n} e B_{n} vem

A_{n}=v_{n}\;v_{n-1}\;A_{n-2}+\left( v_{n}\;u_{n-1}+u_{n}\;v_{n-1}\right)\;B_{n-2}

A_{n}=\left( b_{n}\;v_{n-1}+a_{n}\;\right) \;A_{n-2}+b_{n}\;u_{n-1}\;B_{n-2}

e

B_{n}=v_{n}\;v_{n-1}\;B_{n-2}

B_{n}=\left( b_{n}\;v_{n-1}+a_{n}\right) \;B_{n-2}

concluindo-se que

v_{n}\;u_{n-1}+u_{n}\;v_{n-1}=b_{n}\;u_{n-1}

v_{n}\;v_{n-1}=b_{n}\;v_{n-1}+a_{n}.

Assim

a_{n}=v_{n}\;v_{n-1}-b_{n}\;v_{n-1}

=v_{n}\;v_{n-1}-\left( v_{n}\;u_{n-1}+u_{n}\;v_{n-1}\right)\;v_{n-1}/u_{n-1}

=v_{n}\;v_{n-1}-v_{n}\;v_{n-1}-u_{n}\;v_{n-1}\;v_{n-1}/u_{n-1}

=-\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}v_{n-1}^{2},

e

b_{n}\;u_{n-1}=v_{n}\;u_{n-1}+u_{n}\;v_{n-1}

b_{n}=v_{n}+\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}v_{n-1}.

Logo para n\geq 2,

a_{n}=-\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}v_{n-1}^{2}

b_{n}=v_{n}+\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}v_{n-1}.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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