Relação de recorrência linear homogénea de 2.ª ordem com coeficientes constantes

Numa questão de optimus, no Mathematics Stack Exchange pede-se a determinação da solução de

a_{n}-a_{n-1}-2a_{n-2}=0,\qquad a_0=2,a_1=4

A tradução da minha resposta é esta:

A recorrência/equação com diferenças homogénia de 2.ª ordem com coeficientes constantes

x_{n}+c_{1}x_{n-1}+c_{2}x_{n-2}=0\qquad (1)

tem duas soluções fundamentais (\lambda _{1}^{n})_{n\geq 0} e (\lambda_{2}^{n})_{n\geq 0}, em que \lambda _{1},\lambda _{2} são os zeros do polinómio característico

\lambda ^{2}+c_{1}\lambda +c_{2}\qquad (2)

Confirmemos.

\begin{aligned}\lambda _{1}^{n}+c_{1}\lambda _{1}^{n-1}+c_{2}\lambda _{1}^{n-2}&=\lambda_{1}^{n-2}\left( \lambda _{1}^{2}+c_{1}\lambda _{1}+c_{2}\right) \equiv 0\\  &\\\lambda _{2}^{n}+c_{1}\lambda _{2}^{n-1}+c_{2}\lambda _{2}^{n-2}&=\lambda_{2}^{n-2}\left( \lambda _{2}^{2}+c_{2}\lambda _{2}+c_{2}\right)\equiv 0\end{aligned}

Se \lambda _{1}\neq \lambda _{2} a solução geral de (1) é a combinação linear de \lambda _{1}^{n} e \lambda _{2}^{n}

x_{n}=A\lambda _{1}^{n}+B\lambda _{2}^{n}\qquad (3)

como pode confirmar substituindo (3) em (1). Apliquemos este resultado a equação com diferenças a_{n}-a_{n-1}-2a_{n-2}=0. O polinómio característico \lambda ^{2}-\lambda -2 tem os zeros \lambda_{1}=-1,\lambda _{2}=2.

Logo (3) fica

a_{n}=A(-1)^{n}+B2^{n}

As constantes A and B determinam-se usando as condições iniciais a_{0}=2, a_{1}=4:

a_{0}=A(-1)^{0}+B2^{0}=A+B=2\Leftrightarrow B=2-A

Assim

a_{n}=A(-1)^{n}+\left( 2-A\right) 2^{n}

e

a_{1}=A(-1)^{1}+\left( 2-A\right) 2^{1}=-A+4-2A=-3A+4=4\Leftrightarrow A=0.

Uma vez que A=0 e B=2-A=2 a solução é

a_{n}=2\cdot 2^{n}=2^{n+1}\qquad n\geq 2.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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