Exemplo de uma indeterminação do tipo infinito menos infinito ∞ – ∞

Publicado em 10 de Abril de 2012 por Américo Tavares

Nesta resposta a uma pergunta de Garmen1778 , no Mathematics Stack Exchange apresentei a seguinte resposta sobre como se pode, por vezes, calcular um limite de uma indeterminação do tipo \infty -\infty, com e sem recurso à regra de l’Hôpital . É o caso de certas fracções racionais em x, isto é \frac{P(x)}{Q(x)}, com P(x) e Q(x) polinómios em x. Como exemplo seja f(x)=\frac{x^{2}}{x+2} and g(x)=\frac{x^{3}}{x+3}. Temos

\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)&=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{2}}{x+2}=\infty\\\lim_{x\rightarrow \infty }g(x)&=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{3}}{x+3}=\infty.\end{aligned}

Assim \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)-g(x) é indeterminado. Dado que podemos reescrever f(x)-g(x) como

\dfrac{x^{2}}{x+2}-\dfrac{x^{3}}{x+3}=\dfrac{-x^{4}-x^{3}+3x^{2}}{x^{2}+5x+6}:= \dfrac{P(x)}{Q(x)},

em que P(x)=-x^{4}-x^{3}+3x^{2} e Q(x)=x^{2}+5x+6, teremos

\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{x^{2}}{x+2}-\dfrac{x^{3}}{x+3} &=\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{P(x)}{Q(x)} \\&=\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{-x^{4}-x^{3}+3x^{2}}{x^{2}+5x+6} \\&=\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{-x^{2}-x+3}{1+5/x+6/x^{2}} \\&=\dfrac{\lim_{x\rightarrow \infty }-x^{2}-x+3}{\lim_{x\rightarrow \infty }1+5/x+6/x^{2}} \\&=\dfrac{-\infty }{1+0+0}=-\infty.\end{aligned}

Os polinómios P(x) and Q(x) são diferenciáveis. Podemos, portanto, aplicar a regra de l’Hôpital à fracção

\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{-x^{4}-x^{3}+3x^{2}}{x^{2}+5x+6}

como segue

\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{P(x)}{Q(x)} &=\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{P^{\prime }(x)}{Q^{\prime }(x)} \\&=\dfrac{\lim_{x\rightarrow \infty }-4x^{3}-3x^{2}+6x}{\lim_{x\rightarrow\infty }2x+5} \\&=\dfrac{\lim_{x\rightarrow \infty }-12x^{2}-6x+6}{\lim_{x\rightarrow \infty}2}=-\infty .\end{aligned}

Os dois resultados são evidentemente iguais. O cálculo de

\displaystyle \lim_{x \to 4} \; \dfrac{x-4}{5-\sqrt{x^2+9}}

foi feito nesta questão, havendo muitos outros exemplos neste site.

Exercício. Tente calcular a indeterminação semelhante do limite de

\begin{aligned}\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{5}{\left( x+2\right)\left( 3-x\right) }\end{aligned}

quando x tende para 3.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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11 respostas a Exemplo de uma indeterminação do tipo infinito menos infinito ∞ – ∞

  3. bruno diz:
    30 de Novembro de 2013 às 04:40

    lim x->+infinto [(x+5)ln(x+5)-xlnx-6lnx] = ? , da um indeterminaçao do tipo infinito – infinito , como sair dai ?

    Responder
  4. Emerson diz:
    6 de Julho de 2014 às 02:37

    Américo, não entendi o final.. pq deu “menos infinito”?

    Responder
  5. Emerson diz:
    10 de Julho de 2014 às 15:06

    entendi… muito obrigado. Américo, tem uma questão de integral, que eu não consigo resolver, e já procurei em alguns livros, mas não sei o que tem errado. Você poderia me ajudar? tem algum e-mail que eu possa enviar?

    Responder
  6. Borges David Noe diz:
    18 de Novembro de 2015 às 09:37

    sejam dadas duas rectas r e t , definidas através das equações:
    r: y=-x+6
    t: {(x) pertence IR^2:(2) + u(1/2);U pertence IR}
    (Y) (10) (-1)

    de referir que na recta t vem chavetas depois entrepararenteses x em cima e y em baixo
    a) O ponto de intersecção das duas rectas?

    Responder

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