Diferencial

Na seguinte questão do MSE de trusktr

What is, how do you use, and why do you use differentials? What are their practical uses?

ilustrada pela equação da difracção de uma onda electromagnética numa rede

d_s\sin(\theta) = m\lambda

e pelo respectivo diferencial

d_s \cos(\theta)d\theta = md\lambda

o autor pertende saber o significado e utilização do conceito de diferencial.

Tradução da minha resposta:

Para uma interpretação correcta das suas equações, quanto ao significado físico, aconselho-o a perguntar no site physics.SE.

Seja y=f(x) uma função real. Se f(x) for diferenciável no ponto específico x_0, a  expressão dy=f'(x_0)dx é chamada diferencial de f em x_0. Na figura abaixo esta equação em dx e dy representa a recta tangente ao gráfico de f(x) em x_0, no sistema de coordenadas dx,dy obtido por translação do inicial.

Quer dy quer dx interpretam-se como sendo infinitésimos. O diferencial dy é aproximadamente a variação de y quando x sofre uma alteração de uma quantidade arbitrariamente pequena dx. Se y=kxdy é exactamente igual à variação de y=f(x).

– Exemplo: Consideremos a função y=x^{2}. O diferencial dy num ponto genérico x é  dy=2xdx e a diferença finita \Delta y é dada por

\begin{aligned}\Delta y&=(x+dx)^{2}-x^{2}=2xdx+(dx)^{2}\\&=dy+(dx)^{2}\\&\approx dy,\end{aligned}

se desprezarmos a contribuição de (dx)^{2}.  Se tivermos um quadrado, cujo comprimento de cada lado x\approx 10 \;\mathrm{cm} foi medido com um erro máximo de \pm 0.001 \mathrm{cm}, podemos calcular a sua área aproximadamente pelo diferencial

dy=2xdx=2\cdot 10\cdot 10^{-3}=0.02\;\mathrm{cm}^{2}.

O erro desta aproximação é da ordem de

(dx)^{2}=\left( 10^{-3}\right) ^{2}=10^{-6} \;\mathrm{cm}^{2}.

– Se f=u(x,y) for uma função das variáveis reais x,y, então a forma  diferencial de 1.ª ordem du nas duas variáveis calculado  em x_0,y_0 é

du=\left.\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)\right\vert_{\left(x_{0},y_{0}\right) }dx+\left.\left( \dfrac{\partial u}{\partial y}\right)\right\vert_{\left( x_{0},y_{0}\right)}dy

E de forma semelhante para dimensões superiores.

– Os diferenciais aparecem também na transformação de integrais.

Exemplo: o diferencial de área dxdy transforma-se em rd\theta dr, quando se faz uma transformação de coordenadas cartesianas em polares, tendo-se

\displaystyle\iint \;dxdy=\displaystyle\iint \;r\;d\theta dr.

(Ver esta questão).

Relativamente às equações a minha interpretação é a seguinte:

1. Para uma variação arbitrariamente pequena d\theta do ângulo \theta a variação correspondente do comprimento de onda \lambda é d\lambda, o que significa que  \lambda deve ser uma função de \theta, senão d\lambda =0.

2. Se diferenciarmos ambos os membros da equação

d_{s}\sin \theta =m\lambda,

obtemos

\begin{aligned}\dfrac{d}{d\theta }\left( d_{s}\sin \theta \right)&=\dfrac{d}{d\theta }  m\lambda \\d_{s}\cos \theta &=m\dfrac{d\lambda }{d\theta },\end{aligned}

que se pode escrever em termos de diferenciais da maneira seguinte

d_{s}\cos \theta \;d\theta =m\;d\lambda.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Cálculo, Matemática, Mathematics Stack Exchange com as etiquetas , . ligação permanente.

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s