Número de zeros finais de n factorial, n!

Adaptado  desta resposta, no MSE, a esta pergunta de user25329, aproveitando  esta minha  entrada do início deste blogue.

O número de zeros finais de n! é igual ao expoente de 5 da factorização em números primos de n!, o qual é um caso particular da Fórmula de Polignac^{1,2} geral, sendo  dado por

e_{5}(n!)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\left\lfloor\log n/\log 5\right\rfloor }\left\lfloor\dfrac{n}{5^{i}}\right\rfloor\qquad (1)

Pela mesma fórmula o exponente de 2 desa factorização é

e_{2}(n!)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\left\lfloor\log n/\log 2\right\rfloor }\left\lfloor\dfrac{n}{2^{i}}\right\rfloor\qquad (2)

Para todo o n existe um m tal que n!=2^{e_2(n!)}\cdot 5^{e_5(n!)}m=(2^{e_2(n!)-e_5(n!)}m)10^{e_5(n!)}, o que conjuntamente com a demonstração apresentada na nota 2 mostra a validade de (1),(2).

Exemplo: n=50. O expoente de 2 da factorização em primos de 50! é igual a

\begin{aligned}e_2(50!)=\displaystyle\sum_{i\geq 1}\left\lfloor \dfrac{50}{2^{i}}\right\rfloor &=\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{2}\right\rfloor+\displaystyle\left\lfloor \dfrac{50}{2^{2}} \right\rfloor +\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{2^{3}}\right\rfloor+\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{2^{4}}\right\rfloor+\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{2^{5}}\right\rfloor\\&=25+12+6+3+1\\&=47,\end{aligned}

enquanto que o exponente de 5 é igual a

\displaystyle e_5(50!)=\displaystyle\sum_{i\geq 1}\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{5^{i}}\right\rfloor=\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{5}\right\rfloor+\displaystyle\left\lfloor \dfrac{50}{5^{2}}\right\rfloor =10+2=12.

Assim, o número de zeros finais de 50!=2^{47}5^{12}m=(2^{35}m)10^{12} é igual a 12.

^1 Este teorema também é conhecido pelo nome de teorema de Legendre.

^2 Para todo o inteiro n o expoente do primo p da factorização em primos de n! é igual a

\displaystyle\sum_{i= 1}^{\left\lfloor\log n/\log p\right\rfloor}\displaystyle\left\lfloor\dfrac{n}{p^{i}}\right\rfloor.\qquad (0)

Este expoente obtém-se adicionando aos números entre 1 e n que são dvisíveis por p o número dos que são divisíveis por p^{2}, depois os que são de p^{3}, e assim sucessivamente. Este processo termina na maior potência de p^{i}\leq n.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Número de zeros finais de n factorial, n!

  1. Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá) diz:

    Olá mestre Antonio Tavares:
    Sou professor titular (por concurso) aposentado da Univerisidade Federal de Campina Grande-Paraíba-Brasil.
    Muito interessante a demonstração do número de zeros finais de n! que é igual ao expoente de 5 da factorização em números primos de n!.
    Outra maneira de achar o número de zeros finais de n!, é dividir n por 5 até o quociente ficar menor que 5, e em seguida somar os quocientes.
    Exemplo:
    50/5 = 10
    10/5 = 2
    Como 2 < 5, para. Somando os quociente, obtém-se: 10 + 2 = 12 zeros.
    Atenciosamente
    Sebá

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