Determinação de uma matriz que transforma um vector noutro

Nesta questão de Miro, no MSE, é dado um vector u=(x,y) e pretende-se determinar uma matriz M tal que Mu=(1,0). A matriz deverá rodar u.

Tradução da minha resposta: o seu problema é equivalente a determinar a transformação entre as coordenadas x,y de um ponto e as coordenadas x',y' do mesmo ponto num sistema de coordenadas rodado em relação ao inicial, seguida da multiplicação pelo factor  k=1/\sqrt{x^{2}+y^{2}}, de tal maneira que  x''=kx'=1 and y''=kx'=0. O ângulo de rotação deve ser \theta =\arctan \dfrac{y}{x} (ver figura).

Da trigonometria sabemos que

\begin{aligned}\left\{\begin{array}{c}x'=x\cos \theta +y\sin \theta =\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ \\y'=-x\sin \theta +y\cos \theta =0\end{array}\right.\end{aligned}

e como

\cos\left(\arctan \dfrac{y}{x}\right) =\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

 \sin\left(\arctan\dfrac{y}{x}\right) =\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},

tem-se

\begin{aligned}\left\{\begin{array}{c}x''=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\ x'=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=1\\y''=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\ y'=-\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}=0.\end{array}\right.\end{aligned}

Em notação matricial

\begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix}  =\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\begin{pmatrix}x'\\y'  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  \dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\\  -\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}

Assim

M=\begin{pmatrix}\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\\-\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}  \end{pmatrix}.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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