Integral real calculado pelo método dos resíduos com aplicação do lema de Jordan

Nesta questão do MSE EMKA perguntou como calcular o integral real

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos ax}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx\qquad\text{com}\quad a>0

pelos métodos da Análise Complexa. Apresento a tradução da minha resposta.

Seja

f(z)=\dfrac{e^{iaz}}{\left(1+z^{2}\right) ^{2}}=\dfrac{e^{iaz}}{(z-i)^{2}(z+i)^{2}}.

O resíduo de f(z) em z=i é

\begin{aligned}\underset{z=i}{\mathrm{res}}f(z) &=\dfrac{1}{(2-1)!}\lim_{z\rightarrow i}\dfrac{d}{dz}\left((z-i)^2f(z)\right)\\&=\lim_{z\rightarrow i}\dfrac{d}{dz}\left( \dfrac{e^{iaz}}{(z+i)^{2}}\right)=\lim_{z\rightarrow i}\dfrac{iae^{iaz}(z+i)^{2}-e^{iaz}2\left( z+i\right) }{(z+i)^{4}} \\&=-\dfrac{1}{4}i\left( a+1\right) e^{-a}.\end{aligned}

Designemos  o contorno da metade superior do disco \left\vert z\right\vert =R, percorrido no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (ver figura) por C_{R}. Pelo teorema dos resíduos

\begin{aligned}\displaystyle\int_{-R}^{R}\dfrac{e^{iax}}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx+\displaystyle\int_{C_{R}}\dfrac{e^{iaz}}{\left( 1+z^{2}\right) ^{2}}dz &=2\pi i\underset{z=i}{\ \mathrm{ res}}f(z)e^{iaz} \\&=\dfrac{1}{2}\pi \left( a+1\right) e^{-a}.\end{aligned}

Assim,

\begin{aligned}\text{Re}\displaystyle\int_{-R}^{R}\frac{e^{iax}}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx+\text{Re}\displaystyle\int_{C_{R}}\dfrac{e^{iaz}}{\left( 1+z^{2}\right) ^{2}}dz &=\text{Re}\dfrac{1}{2}\pi \left( a+1\right) e^{-a}, \\ \\\displaystyle\int_{-R}^{R}\dfrac{\cos ax}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx+\text{Re}\displaystyle\int_{C_{R}}\frac{e^{iaz}}{\left( 1+z^{2}\right) ^{2}}dz &=\dfrac{1}{2}\pi \left( a+1\right) e^{-a}.\end{aligned}

Quando \left\vert z\right\vert =R, verifica-se (veja identidade mais geral aqui.)

\left\vert \dfrac{1}{(1+z^{2})^{2}}\right\vert =\dfrac{1}{\left\vert z+i\right\vert ^{2}\left\vert z-i\right\vert ^{2}}\leq \dfrac{1}{\left\vert\left\vert z\right\vert -|i\right\vert ^{2}\left\vert \left\vert z\right\vert -\left\vert i\right\vert \right\vert ^{2}}=\dfrac{1}{(R-1) ^{4}}=:M_R,

o que significa que M_R>0 e

\lim_{R\rightarrow \infty }M_R= \lim_{R\rightarrow \infty }\dfrac{1}{(R-1) ^{4}}=0.

Podemos aplicar o lema de Jordan, qualquer que seja a constante positiva a, e concluir que

\lim_{R\rightarrow \infty }\displaystyle\int_{C_{R}}\dfrac{e^{iaz}}{\left( 1+z^{2}\right)^{2}}dz=0.

Em consequência,

\displaystyle\int_{-\infty }^{\infty }\dfrac{\cos ax}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx=\dfrac{1}{2}\pi \left( a+1\right) e^{-a}

e

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos ax}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx=\dfrac{1}{4}\pi \left( a+1\right) e^{-a}.

Nota: O exercício 3 da página 265 de Complex Variables and Applications por James Brown e Ruell Churchill generaliza este integral para

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos ax}{( b^2+x^{2}) ^{2}}dx=\dfrac{1}{4b^3}\pi \left( ab+1\right) e^{-ab}\qquad (a>0,b>0).

Determinação de uma matriz que transforma um vector noutro

Nesta questão de Miro, no MSE, é dado um vector u=(x,y) e pretende-se determinar uma matriz M tal que Mu=(1,0). A matriz deverá rodar u.

Tradução da minha resposta: o seu problema é equivalente a determinar a transformação entre as coordenadas x,y de um ponto e as coordenadas x',y' do mesmo ponto num sistema de coordenadas rodado em relação ao inicial, seguida da multiplicação pelo factor  k=1/\sqrt{x^{2}+y^{2}}, de tal maneira que  x''=kx'=1 and y''=kx'=0. O ângulo de rotação deve ser \theta =\arctan \dfrac{y}{x} (ver figura).

Da trigonometria sabemos que

\begin{aligned}\left\{\begin{array}{c}x'=x\cos \theta +y\sin \theta =\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ \\y'=-x\sin \theta +y\cos \theta =0\end{array}\right.\end{aligned}

e como

\cos\left(\arctan \dfrac{y}{x}\right) =\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

 \sin\left(\arctan\dfrac{y}{x}\right) =\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},

tem-se

\begin{aligned}\left\{\begin{array}{c}x''=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\ x'=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=1\\y''=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\ y'=-\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}=0.\end{array}\right.\end{aligned}

Em notação matricial

\begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix}  =\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\begin{pmatrix}x'\\y'  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}  \dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\\  -\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}

Assim

M=\begin{pmatrix}\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\\-\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}  \end{pmatrix}.