Interpretação geométrica de ∬dx dy = ∬ r dα dr na transformação de coordenadas cartesianas em polares

Nesta minha resposta a uma questão de hhh, no MSE, apresentei a seguinte interpretação geométrica da transformação de coordenadas cartesianas em polares, no cálculo do integral duplo  do elemento de área, que traduzo.

Por definição do integral duplo de uma função contínua numa região  R fechada e limitada R, no plano xy, tem-se

\displaystyle\iint_R f(x,y)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i})\Delta A_{i},

em que \Delta A_{i} é a área de uma célula rectangular genérica e n o número de células.

Se f(x,y)=1, obtém-se a área de R

\displaystyle\iint_R\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n }\Delta A_{i}.

Se decompusermos R em células com a forma de sector circulares definidos por dois arcos cuja diferença de raios é \Delta r_{i} para a i-ésima célula genérica e por  dois raios que fazem um ângulo \Delta \theta _{i} entre eles, a área da célula, utilizando a respectiva fórmula, é

\dfrac{1}{2}\left[ \left( r_{i}+\dfrac{1}{2}\Delta r_{i}\right) ^{2}-\left( r_{i}-\dfrac{1}{2}\Delta r_{i}\right) ^{2}\right] \Delta \theta_{i}=r_{i}\Delta r_{i}\Delta\theta _{i},

em que r_{i} é o raio do ponto médio da célula. A mesma área de  R pode ser expressa por \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}r_{i}\Delta r_{i}\Delta \theta _{i}, o que, por definição de um integral duplo, é igual a

\displaystyle\iint_R r\;\mathrm{d}r\;\mathrm{d}\theta.

Figura: i-ésima célula genérica em coordenadas polares com a forma de um sector circular

Esta transformação é definida rigorosamente pelo valor absoluto do  jacobiano da transformação  \left\vert\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}\right\vert =r do sistema de coordenadas cartesianas no de polares (x=r\cos \theta ,y=r\sin\theta ):

\displaystyle\iint_R\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y=\displaystyle\iint_R\left\vert\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}\right\vert \;\mathrm{d}r\;\mathrm{d}\theta =\displaystyle\iint_R r\;\mathrm{d}r\;\mathrm{d}\theta.

Cálculo do determinante jacobiano:

\begin{aligned}\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )} &=\det\begin{pmatrix}\partial x/\partial r&\partial x/\partial \theta\\\partial y/\partial r&\partial y/\partial\theta\end{pmatrix}\\&=\det\begin{pmatrix}\cos \theta & -r\sin \theta\\\sin\theta & r\cos \theta\end{pmatrix}\\&=r\cos ^{2}\theta +r\sin ^{2}\theta\\&=r\end{aligned}

Nota: Um raciocínio idêntico que o generaliza  permite intepretar geometricamente a transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas, ao calcular o integral triplo  do elemento de volume.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Interpretação geométrica de ∬dx dy = ∬ r dα dr na transformação de coordenadas cartesianas em polares

  1. Diego diz:

    Simples, conciso e objetivo! Isso que é uma boa explicação para este fato.

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